Лекции по математическому анализу - Архипов Г.И.
ISBN 5-06-003596-4
Скачать (прямая ссылка):
D D0
2. Переход к сферическим координатам от декартовых прямоугольных координат выполняется по формулам
X = Г COS Ip cos 9, у = Г sin <р COS в, Z = г sin в,
где г — длина радиус-вектора текущей точки M от начала координат, $ — величина угла между радиус-вектором OM и его проекцией на плоскость хОу, (р — величина угла между осью Ox и ОМ, и, кроме того, г > 0, 0 < (р < 2тг, |0| <
Якобиан этого отображения равен г2 cos#. Таким образом, получаем для дифференциального выражения элемента объема dV следующую формулу:
dV — dxdydz = г2 cos 9drd<pd9. Лекция 12
§ 13. КРИТЕРИЙ ЛЕБЕГА
Начнем с определения множества нулевой меры Лебега. Открытый параллелепипед назовем стандартным, если его ребра параллельны осям прямоугольной системы координат. Объединение не более чем счетного числа стандартных параллелепипедов назовем простейшей фигурой.
Определение 1. Множество А точек в пространстве En имеет лебегову меру нуль, если для любого є > О существует конечное или счетное множество открытых стандартных параллелепипедов П*,
OO
k = 1,..., с объемом р(Пк) = Sk, покрывающих А, А С U Щ, и таких,
k=l
оо
ЧТО ]Г Sk < с.
Jt=I
Л е M м а 1. Конечное или счетное объединение множеств лебеговой меры нуль является множеством лебеговой меры нуль.
Доказательство. Нам дано, что р{Ак) = 0, к = 1,....
OO
Докажем, что р(А) = р( U Ak) = 0. Действительно, по определению,
Jc = I
для любого є > 0 существует простейшая фигура Щ такая, что AkCTlk и p{Ilh) <є/2к.
OO OO OO
Кроме того, имеем A= U Ak С U П* и р( U Щ) < ^(Щ) < е.
Jc = I к — \ Jc = I = 1
Следовательно, множество А имеет лебегову меру нуль. Лемма 1 доказана.
Л е м м а 2. Пусть В С А,р(А) = 0. Тогда р(В) = 0.
Доказательство. Поскольку любая простейшая фигура, покрывающая множество А, покрывает и множество В, утверждение леммы сразу следует из определения множества лебеговой меры нуль. Лемма 2 доказана.
Л е м м а 3. Компакт А С М", n > 1, лебеговой меры нуль измерим по Жордану и его мера Жордана равна нулю.
Доказательство. Так как лебегова мера компакта А равна нулю, то для любого є > О существует простейшая фигура, состоящая не более чем счетного множества открытых стандартных параллелепипедов, покрывающая А, и имеющая объем, меньший е.
Из этого покрытия можно выделить в силу компактности конечное подпокрытие с объемом меньшим е. Следовательно, множество А измеримо по Жордану и его мера Жордана равна нулю.
583 Лемма 3 доказана.
Далее, пусть функция д(х,у) ограничена на прямоугольнике Р. Обозначим через П = П{?) = П(х0, куб, состоящий из точек (xi,..., х„) С условием XotS — 6 < хя < Xqi3 + S, S = 1, . . . , Tl, где Xo = (яо.ь ¦ • • , Я0,п)-
Определение 2. Колебанием функции д(х) в точке хо назовем величину
w(x0) = W3(X0) = inf sup (tf(x) - д(у)).
п *,у€П
Другими словами, имеем
ш(х0) = inf(Ma(xo) - т*(ж0)),
где
M6(Xo) = supg(x),ms(х0) = inf ^(х). геп f^n
Имеет место следующий критерий непрерывности функции в точке в терминах колебания функции в точке.
JI е м м а 4. Функция д(х) непрерывна в точке X0 тогда и только тогда, когда шд(хо) = 0.
Доказательство. Необходимость. Пусть функция <j(x) непрерывна в точке х0. Предположим, что ug(х0) = а > 0. Рассмотрим куб Пі/„. Тогда из определения величины шд(х0) имеем Mifn(Xo) — mi/n(xо) > а. Отсюда получим, что существуют точки х„ и уп такие, что д(хп) - д(уп) > § > 0.
Кроме того, имеем lim xn = iim yn = х0. Но тогда, переходя
П —> OO П—юо
в предыдущем неравенстве к пределу при п оо и используя непрерывность функции д(х) в точке х0, получим 0 > а/2 > 0. Это противоречивое неравенство показывает, что сделанное предположение неверно. Следовательно, и>д(хо) = 0. Необходимость доказана.
Достаточность. Поскольку ид(х0) = 0, для любого є > 0 существует S = <У(е) > 0 такое, что для любых х,у Є П(?) имеем \д(х) — </(у)| < ?¦ Положим у = х0. Тогда последнее условие будет условием непрерывности функции д(х) в точке х0. Лемма 4 доказана.
Обозначим через D(a) множество точек х Є Р, удовлетворяющих условию ид(х) > а > 0.
Л е м м a 5. Множество D (а) замкнуто.
Доказательство. Пусть x0 — предельная точка множества D(a). Докажем, что она принадлежит D(at). Поскольку Xo предельная точка D(a), существует последовательность х„ Є D(a), сходящаяся к X0.
584 Для любого J > О найдется хп € Flj(X0). В силу того, что IIj(X0) открытое множество, существует Ji > 0 такое, что Ilj1(xn) С П^(хо). Отсюда имеем
M6(X0) - т6(хо) > Ms1(Xn) - ITis1(Xn) > шд(хп) > а. Следовательно, и>д(хо) = inf(Mj(x0) — mj(x0)) > а, то есть точка
x0 e d(а).
Лемма 5 доказана.
Teop е м а 1. Ограниченная на прямоугольнике функция интегрируема по Риману тогда и только тогда, когда для любого a > О множество D(а) имеет лебегову меру нуль.
Доказательство. Необходимость. Предположим, что существует а > О такое, что множество D(a) не является множеством лебеговой меры нуль, т.е. найдется ?0 > О такое, что для любой простейшей фигуры,содержащей D(a), ее объем не меньше Єо.
