Лекции по математическому анализу - Архипов Г.И.
ISBN 5-06-003596-4
Скачать (прямая ссылка):
Для того чтобы получить такое обобщение, вспомним, как выглядит определение интеграла в одномерном случае, то есть в случае функции у = /(х) от одной переменной х, определенной на отрезке I = [а, 6] и интегрируемой на нем по Риману. Одно из эквивалентных определений данного понятия можно сформулировать так.
ь
Определение 1. Интегралом J f(x)dx от ограниченной функции
a
f(x) называется число, равное алгебраической сумме площадей криволинейных трапеций, образованных кривой у = f(x) при х Є [а, 6]. При этом в данную сумму входят площади криволинейных трапеций, расположенных над осью абсцисс со знаком " + ", а под ней — со знаком " — ".
Если мы обобщим понятие криволинейной трапеции на случай, скажем, функции двух переменных z = g(x,y), заданной на прямоугольнике P — Ii х I2 = Ia^b1] X [«2,62], то и получим одно из возможных определений двойного интеграла от функции д(х,у) по прямоугольнику Р. Этот интеграл обозначается символом
Ьі 62
JJд(х, y)dxdy = J Jg(x,y)dxdy.
P Ol da
Допустим сначала, что д{х,у) > 0 для всех (х,у) Є Р. Вместо криволинейной трапеции рассмотрим пространственную фигуру Н, заключенную между поверхностью z = д{х, у) и плоскостью Z = O при (х,у) Є Р. Другими словами, фигура H состоит изо всех тех точек (x,y,z), для которых X Є А, ,у Є /2, а третья координата г удовлетворяет условию 0 < z < д(х,у).
544 Определение 2. Фигуру H будем называть цилиндрической криволинейной фигурой, порожденной поверхностью z = у(х,у).
Если окажется, что эта фигура измерима каким-либо способом (по Жордану, по Лебегу или еще как-нибудь), то ее меру ?{H) можно взять в качестве искомого определения значения двойного интеграла
1 = Jf 9ІХ> y)dxdV =
P
Заметим, что если /і есть мера Жордана, то данное выше определение двойного интеграла будет эквивалентным определению двойного интеграла Римана, которое будет сейчас дано. Можно было бы таким же образом разобрать общий случай, когда функция д(х,у) принимает как положительные, так и отрицательные значения, но мы это сделаем в дальнейшем при доказательстве критерия измеримости по Жордану цилиндрической криволинейной фигуры.
Перейдем теперь к построению теории двойного интеграла Римана по прямоугольнику Р. Сначала определим понятие цилиндрической фигуры в общем случае.
Определение 3. Фигура H С M3 называется цилиндрической криволинейной фигурой, порожденной поверхностью z = д(х,у), заданной на P, если H состоит изо всех таких точек (ж, у, г), для которых (х, у) Є Р, а координата z заключена между числами 0 и д{х,у), то есть при д{х,у) > 0 имеем О < z < д(х,у), а при д(х,у) < О имеем д(х,у) < z < 0.
Разобьем прямоугольник P на меньшие прямоугольники с помощью прямых, параллельных осям Ox и Oy и проходящих через точки Oi = Xq < Xi < • • • < xm = &1 разбиения Tx на оси Ox и а2 = уо < Уі < • ¦ • < yn = b2 разбиения Ty на оси Oy.
Прямоугольник Pkj С P1 точки (х, у) которого удовлетворяют условиям
X Є Ajjf0*= [xA_i,xA], у Є дг(у) = [yi_i.yf],
где A^ есть к-й отрезок разбиения Tx и A^ — й отрезок разбиения Ту, будем называть элементом разбиения T прямоугольника P с индексом (к,1), а множество всех прямоугольников Pk}i, к = 1,..., m, / = 1,..., п — разбиением T прямоугольника Р.
В каждом прямоугольнике Pkj возьмем точку AfttI с координатами (&.І, &к,1 )• Множество прямоугольников Pfc i и точек Ak,i будем называть размеченным разбиением прямоугольника P и будем обозначать его через V.
Очевидно, что каждому размеченному разбиению V однозначно соответствует неразмеченное разбиение T прямоугольника P, получаемое из V отбрасыванием точек "разметки" (^1J, Ок,і)- Другими словами, T является функцией от V, T = T(V).
IS Лекции по математическому анализу
545 Отметим, что площадь элемента разбиения Т, т.е. площадь прямоугольника Ркіі, равна AxkAyi =•¦ {хк - хк-і)(уі - уі-і).
Определение 4. Сумма
m п
называется интегральной суммой Римана функции д(х,у)> соответствующей (отвечающей) размеченному разбиению V стандартного прямоугольника Р.
Длину у/Ах\ + Ayf диагонали прямоугольника Pkj будем называть его диаметром.
Определение 5. Диаметром разбиения (размеченного V и неразмеченного Т) прямоугольника P будем называть максимальное значение диаметров элементов разбиения {Pk,i}- Обозначать его будем символом Ay и, соответственно, At-
Определение 6. Число I называется (двойным) интегралом Римана от ограниченной функции д(х,у) по прямоугольнику P, если для всякого числа є > О существует число S = 6(є) >0 такое, что для любого размеченного разбиения V прямоугольника P с условием Ат < S справедливо неравенство
HV) - 1\ < є.
Здесь <?(V) — интегральная сумма для функции д(х}у), которая соответствует размеченному разбиению V. Поэтому последнее неравенство можно записать еще и так:
m п
|?]Г<7(&.<'МЛа:*Лгл - Л < с-
k=I 1=1
В этом случае будем говорить, что д(х, у) является интегрируемой по Риману на прямоугольнике Р.
Далее рассмотрим следующие вопросы:
1) убедимся, что интеграл I есть предел по некоторой базе;
