Лекции по математическому анализу - Архипов Г.И.
ISBN 5-06-003596-4
Скачать (прямая ссылка):
z = g(x.,y), (х,у)еР.
Заметим, что ц(дНi) = ••• = ц(дНь) = 0, так как всякий прямоугольник или его часть имеют нулевой объем.
Из критерия интегрируемости по Риману функции g(х,у) имеем, что inf Q(T) = 0. Следовательно, для всякого є > 0 существует разбиение T такое, что справедливо неравенство Q(T) < е. Для этого разбиения T рассмотрим простую фигуру D, которай есть объединение замкнутых параллелепипедов (брусов) DktI1 соответствующих разбиению T прямоугольника Р. Каждый брус DktI состоит из точек (x,y,z) таких, что для всех (я, у) G Pk,і имеем mkj < z < Mk,і (напомним, что
= inf g(x,y),Mkti= sup g(x,y)). (г,у)ЄРм (r,y)6?*, і
Тогда, очевидно, фигура D содержит все точки поверхности Hq. Далее, имеем ?(D) = Q(T) < є. Поскольку Hq С Df получим, что р*(Н$) < €. В силу произвольности є > 0 это значит, что ц(Нб) = 0.
Отсюда следует, что n(dF) = 0, и тогда согласно критерию измеримости фигура F измерима по Жордану. Необходимость доказана.
Достаточность. Мы имеем, что F измерима. Из критерия измеримости получим, что fi(dF) = 0. Это значит, что для любого є > 0 существует фигура D Є П такая, что Hq С D и ?(D) < є. Фигура D есть объединение нескольких замкнутых брусов Dr, г =
557 Можно считать, что проекция фигуры D на плоскость z = О совпадает с Р. Если это не так, то можно вместо D взять ее пересечение с бесконечным цилиндром, состоящим из точек (x,y,z) с условием (ас, у) Є P-
Проекции всех брусов Dr, г = 1,... ,t, на плоскость z = 0 дают разбиение прямоугольника P на прямоугольники Qr.
Продолжая стороны каждого прямоугольника Qr до пересечения со сторонами прямоугольника Pi получим некоторое разбиение T прямоугольника P на прямоугольники Pk j.
Заметим, что для любой точки (х,у) € Pk,і имеем (х,у, mkj) ? D и (я, у, Mkj) Є А где ttikj= inf g(x,y),Mkj = sup д(х,у) Это
утверждение имеет место, поскольку H6 С D. Обозначим через Dkj брус с условием
(ж, у) Є Pkj, mkj < z < Mkj-
Пусть Dq — объединение всех таких брусов Dkj. Тогда получим, что
D0 С D
и jj.(D0) < fJ-(D) < є. Отсюда имеем, что ?(D0) = Q(T) < е. Следовательно, inf Q(T) = 0, т.е. д(х,у) интегрируема на Р. Теорема
1 доказана.
§ 6. ПОНЯТИЕ ДВОЙНОГО ИНТЕГРАЛА РИМАНА ПО ОГРАНИЧЕННОЙ ОБЛАСТИ, ИЗМЕРИМОЙ ПО ЖОРДАНУ
Для дальнейшего нам потребуется ввести понятие предела еще по одной базе множеств.
Рассмотрим функцию д(х,у), определенную на ограниченной области D, измеримой по Жордану.
Определение 1. Разбиением г области D будем называть конечный набор измеримых по Жордану множеств Di,.. .,Dt с условиями:
1) D1 U - -U Dt = D)
2) при всех m,n < t, щф п, имеем fi(Dm П Dn) = 0. Совокупность всех разбиений г обозначим через Ad-
Определение 2. Диаметром d, = d(D) множества D называется
величина sup p(a,b). a,b?D
Диаметром A7- разбиения г области D будем называть величину A7- = max d(Dn).
n<t
Точки ai,...,at, as Є Ds, 1 < s < t: будем называть разметкой данного разбиения т и обозначать символом ? = Pd, а разбиение ? будем называть размеченным разбиением.
558 Множество всех размеченных разбиений множества D обозначим через A'd .
Определение 3. Интегральной суммой размеченного разбиения ? будем называть величину
t
a(?) = )/'( Ai )> an = (®п,Уп).
n = l
Определение 4. Число I называется обобщенным двойным интегралом Римана функции д(х., у) по ограниченной области D1 измеримой по Жордану, если для любого є > О найдется число S = S (є) > О, такое, что для любого разбиения ? = ?o с условием Ap < S имеем
\a(?) - ї\ < є.
Обобщенный двойной интеграл можно рассматривать как предел по базе. Ее мы будем Обозначим эту базу символом A? O; она будет состоять из окончаний b's С A'D, определяемых условием
bs = {? = ?D\A?<S}. t
Очевидно, что функция <r(?) = Yl 9{an)p{Dn) определена на множе-
п = 1
стве A'd, а ее предел по базе A? ~)0 и есть обобщенный двойной
интеграл по области D.
Пусть mn — inf Mn = sup g(a),u>n = M71 — щп. Тогда определен n аЄ?)п
лим верхнюю и нижнюю суммы Дарбу соответственно следующими
выражениями:
t t s(t) = j^mnpid ),s(r) = j^1 tylnp(dn)1
П=1 Л—1
t
и омега-сумму — выражением u(r) = ^ vnp(Dn).
ті — 1
Дадим еще одно определение кратного интеграла от ограниченной функции д(х,у) по ограниченной, измеримой по Жордану, области D.
Пусть для некоторого прямоугольника P имеем DcP- Доопределим функцию д(х,у) на весь прямоугольник P1 полагая
Г д(х,у), если (x,y)eD} X 0, если (ж, у) Є P\D.
mx>y)
559 Определение 5. Если до(х, у) интегрируема по Риману на прямоугольнике Р, то двойной интеграл J от до(х,у) по P называется двойным интегралом Римана по множеству D от функции д(х, у), то есть по определению имеем
На первый взгляд может показаться, что понятие обобщенного интеграла / расширяет класс интегрируемых функций по сравнению с понятием интеграла J, но на самом деле это не так.
Теоремаї. Для существования обобщенного двойного интеграла I необходимо и достаточно, чтобы существовал интеграл J, причем тогда I — J.
Доказательство. Сначала заметим, что теорию Дарбу и критерии интегрируемости можно перенести на случай обобщенного двойного интеграла.
