Лекции по математическому анализу - Архипов Г.И.
ISBN 5-06-003596-4
Скачать (прямая ссылка):
(0 к ствами
UJklI < 2M1 Axk < S1 Ayi < S, ^Axk < d, ^Ayi < d.
к і
Тогда будем иметь
ог(Г,Гі) <^2J2Wk'lAxkA У1 ^
(M)
< + 51 ЛOJkjAxkAyl <
(к) і к (і)
< 2MSd [ J]] 1 + XI 1 ) ^ < L
\(*) (О )
Следовательно,
Q(T) = Q(T2)+ V(T1T1) < | + | =
Утверждение в) доказано, и тем самым теорема 1 доказана полностью.
§ 4. СПЕЦИАЛЬНЫЙ КРИТЕРИЙ ИНТЕГРИРУЕМОСТИ ФУНКЦИИ НА ПРЯМОУГОЛЬНИКЕ
Рассмотрим последовательность разбиений Tn прямоугольника Р, отвечающую разбиениям каждого из отрезков [ai,6i], [a2,b2], на п равных частей, т.е. разбиение Tn будет состоять из п2 равных между собой прямоугольников. Соответствующие разбиению Tn верхнюю и нижнюю суммы Дарбу обозначим через Sn и sn, а омега-сумму — через Qn.
553 ТеоремаХ. Для интегрируемости ограниченной функции на прямоугольнике необходимо и достаточно, чтобы выполнялось условие
Iim Qn - 0.
м-юо
Доказательство. Необходимость утверждения следует из теоремы 1 предыдущего параграфа, поскольку из условия Iim ШТ) = 0 получим, что Iim Qn-O.
Дт—>0- П-+00
Достаточность. Для любого разбиения T имеем
s(T)<h<r<S[T).
Следовательно,
sn<h<r< Sn.
Отсюда получим, что
Qn = Sn - s„ > Г - h > 0. Но так как предел Iim Qn = 0, то /* = /» = /. В силу условия 2
п-+оо
теоремы 1 предыдущего параграфа отсюда следует интегрируемость рассматриваемой функции по Риману. Теорема 1 доказана.
Следующая теорема служит дополнением и уточнением теоремы 1 предыдущего параграфа.
Теорема 2. Для интегрируемости ограниченной функции на прямоугольнике необходимо и достаточно, чтобы выполнялось одно из следующих эквивалентных условийJ
4) Iim Qn = 0;
П-+00
5) inf Qn = 0.
п
Доказательство. В силу теорем 1 этого и предыдущего параграфа имеем цепочку заключений:
5) => 3) 1) 4) 5).
Теорема 2 доказана.
Утверждения этого параграфа представляют интерес для вычислительных целей. Из них следует, что достаточно рассмотреть лишь одну последовательность разбиений Tn.
В силу теоремы 2 для любой последовательности {Vn} разметок, соответствующих последовательности неразмеченных разбиений Tn, имеем Iim O-(Vn) = L причем ошибка при замене I на (TiVn) не
п-юо
превосходит Qn, т.е.
Io-(Vrn) — Л < Qn-
554 На самом деле справедливо более общее утверждение: для любого размеченного разбиения V и для T = T(V) имеем
W(V)-I\<U(T(V)).
Действительно, справедливы неравенства
s(T(V)) < <t(V) < S(T(V))1 s(T(V)) < I < S(T(V)).
Это означает, что отрезку [S(T(K))1Sr(T(V))J, длина которого равна S(T(V))-s(T(V)) = nPWb принадлежат оба числа <r(V) и Iy откуда имеем
W(V) -I I < Q(T(V))t что и утверждалось выше. Лекция 26
§ 5. ИЗМЕРИМОСТЬ ПО ЖОРДАНУ ЦИЛИНДРИЧЕСКОЙ КРИВОЛИНЕЙНОЙ ФИГУРЫ
Напомним определения, связанные с понятием измеримости по Жордану трехмерной фигуры.
Определение 1. Фигура P называется простейшей, если она является объединением конечного числа параллелепипедов, стороны которых паргшлельны осям координат. Такие параллелепипеды назовем стандартными.
Обозначим через П = Пз множество всех простейших фигур в пространстве R3.
Очевидно, что мера (или объем) Жордана простой фигуры — это сумма объемов открытых непересекающихся стандартных параллелепипедов, на которые эту фигуру можно разбить.
Определение 2. Верхней мерой Жордана p*(F) ограниченной фигуры F называется величина
inf р(Р), PeniFCP
т.е. точная нижняя грань объемов всех простых фигур, содержащих F.
Аналогично, нижней мерой Жордана p*(F) фигуры F называется величина
Pt(F) = sup р(Р).
РЄП.РСР
Если p*(F) = p*(F), то фигура F называется измеримой по Жордану и ее мера (объем) Жордана равна p(F) = p*(F) = p*(F).
Заметим, что объем любой ограниченной части плоскости всегда равен нулю.
Напомним критерий измеримости фигуры F по Жордану. Обозначим через dF границу фигуры F, то есть множество точек в R3, не являющихся ни внутренними, ни внешними для фигуры F.
T е о р е м а 1. Для измеримости фигуры F по Жордану необходимо и достаточно, чтобы мера ее границы p(dF) была равна нулю.
Доказательство этого критерия мы проводить не будем, поскольку оно ничем не отличается от его доказательства
556 в двумерном случае. Отметим только следующие четыре свойства величины /і(F).
1°. Если F и G измеримы, то фигуры FuG и FDG измеримы.
2°. Если F и G не пересекаются, то /*(FUG) = /i(F)+/i(G) (свойство аддитивности).
3°. Если FcG, то t*(F) < ?(G) (свойство монотонности).
4°. Сдвиги и повороты фигуры F не изменяют значения меры этой фигуры (свойство инвариантности).
Теорема 2. Для интегрируемости ограниченной функции д(х,у) на прямоугольнике P необходимо и достаточно, чтобы цилиндрическая криволинейная фигура F, отвечающая поверхности z — д(х, у), была измерима по Жордану.
Доказательство. (Необходимость). Пусть функция д(х, у) интегрируема на Р. Нам надо доказать, что фигура F измерима. Граница 3F этой фигуры состоит из шести поверхностей:
dF — #i U Я2 U • • • U #6,
где Hi,.. .,H5 — часть границы фигуры F, состоящая из частей плоскостей, параллельных координатным плоскостям, и Hs — поверхность
