Лекции по математическому анализу - Архипов Г.И.
ISBN 5-06-003596-4
Скачать (прямая ссылка):
1. Пусть существует интеграл J по прямоугольнику Р. Тогда в силу критерия интегрируемости (inf ЩТ) = 0) имеем, что для всякого
є > 0 найдется разбиение T такое, что Q(T) < є, причем T состоит из прямоугольников PftiI- Возьмем в качестве Dk,і = D DPkj. Тогда получим разбиение г множества D. Колебание функции д(х,у) на множестве Dk1I не превосходит ее колебания на Pkj, поэтому имеем Г2(т) < ЩТ) < ?, т.е. согласно критерию интегрируемости существует обобщенный интеграл I.
Аналогично можно получить неравенство S(t) < S(T), поэтому I* < S(T)1 Г < J*,I = Г < J* = J, I < J. Из подобного неравенства для нижних сумм Дарбу имеем s(r) > s(T), I = /* > Jm = J. Из этих неравенств следует, что I = J. Необходимость доказана.
2. Пусть существует обобщенный интеграл / по ограниченному измеримому множеству D. Надо доказать, что существует интеграл J от функции до(х, у) по прямоугольнику Р, содержащему D. Из критерия интегрируемости имеем, что существует разбиение т = {D\,..., Dt] такое, что П(г) < є. Для каждого г = 1 множество Dr измеримо, поэтому p(dDr) = 0. Следовательно, найдется простейшая фигура F, состоящая из прямоугольников Pkj, и, такая, что суммарная площадь всех Pkti, содержащих хотя бы одну точку границы dDr,r=
не превосходит є, т.е. p(F) < є.
Продолжим прямолинейные отрезки границы F до пересечения со сторонами прямоугольника Р. Получим разбиение T этого прямоугольника. Вклад UJi в омега-сумму тех прямоугольников,
D
р
560 которые принадлежат P \ Ft не превосходит Q(г) < є. Вклад же и>2 в Q(T1)5 тех прямоугольников, которые принадлежат F, не превосходит
Uj2 < 2Af^(F) < 2Me.
Следовательно, имеем Q(T) = о> і + и2 < (2М + 1)є. Отсюда в силу критерия интегрируемости функции по прямоугольнику следует, что существует интеграл J.
Рассуждая аналогично для верхних сумм Дарбу получим неравенство
S(T) - 2Me < S{r).
Следовательно, J < І + 2Мє. В силу произвольности выбора положительного числа б отсюда будем иметь J < I. Из оценок для нижних сумм Дарбу получим противоположное неравенство J > I. Таким образом, I = J. Теорема 1 доказана полностью.
Из эквивалентности определений интеграла Римана видно, что можно было бы ограничиться при построении теории квадратами KdDh разбиениями их на п2 равных квадратов, и при этом класс интегрируемых функций был тем же самым, что и при определении обобщенного интеграла. Но при таком построении теории есть одно неудобство, связанное с тем, что в пересечении двух квадратов не обязательно получится квадрат, поэтому мы и ограничились рассмотрением прямоугольников. Лекция 12
§ 7. ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА ДВОЙНОГО ИНТЕГРАЛА
Приведем свойства двойного интеграла, а в случае существенного отличия их от свойств однократного интеграла дадим их доказательства.
Пусть D, Di, D2,... — измеримые по Жордану множества, и функции д(х,у),д\(х,у),д2(х,у) — интегрируемы по Риману на рассматриваемых множествах.
Тогда имеют место следующие свойства. 1°. Справедливы равенства:
а) IHsiix^) + 92(x>y))dxdy = И9i(x,y)dxdy + }Jg2{x,y)dxdy, D DD
б) ff cg(x,y)dxdy = с ff g(x,y)dxdy Vc Є M (свойство линейно-D D
сти).
2°. Пусть функции gi и д2 интегрируемы на D, тогда gig2 интегрируема на D.
3°. Пусть на D справедливо неравенство д\(х,у) <92{х,у). Тогда
а) ff 9i(x,y)dxdy <, ff g2(x,y)dxdy (свойство монотонности),
D D
б) Пусть также !<?(я,у)| интегрируема на D. Тогда
Jjg(x,y)dxd.y\< JJ \g(x,y)\dxdy,
D D
в) Пусть f(x, у) >0, т = mf<7(a:,y), M = supд(х,у). Тогда
D D
существует число с, т < с < M такое, что
JJ f(x, у)д(х, y)dxdy = с JJ f(x,y)dxdy (теорема о среднем).
D D
4°. Я I dxdy = p(D).
D
Это утверждение следует из эквивалентности определения меры
Жордана и определения обобщенного двойного интеграла.
5°. Если ?(D) = 0, то ff g(x,y)dxdy = 0 для любой ограниченной
D
на D функции д(х,у).
Доказательство. Так как д(х,у) ограничена на множестве D, то найдется число My 0 такое, что для всех точек
562 (х,у) ? D выполняется неравенство \д(х,у)\ < М. Из свойств 3°, I0 и 4° имеем
JJ g(x,y)dxdy < JJ \g(x,y)\dxdy< M JJdxdy=Mp(D)= 0.
D D D
6°. Пусть области D\ и D2 не имеют общих внутренних точек. Тогда имеем
JJ g(x,y)dxdy + JJg(x,y)dxdy= JJ g(x,y)dxdy
D j D3 DiU-D3
(свойство аддитивности интеграла как функционала от области интегрирования).
Доказательство. Пусть стандартный прямоугольник P содержит D\ и D2. Тогда по определению имеем
JJ9(z,y)dp = JJ gi(x,y)dxdy, JJg(x,y)dp = JJд2(х, y)dxdy,
D1 P D3 P
где
, Л ( 9(x>y)i если (x,y)eDu
Яі{*'у) = \о,
если (х,у) Є P\Di\ если (x,y)^D2, если (я, у) Є P \ D2. Отсюда и из свойства линейности интеграла получим
JJ 9(x>y)dp + JJ g(x,y)dp =
D1 D2
- JJg\(x,y)dxdy + JJg2(x,y)dxdy =
p P
= JJ(9i{x,y) + g2(x,y))dxdy = JJ gdp.
P DiUD3
Свойство 6° доказано.
7°. Если значения функций д\(х,у) и д2(х,у) отличаются только на множестве Di, причем p(Di) =0, Di С D, то
JJ gi(x,y)dxdy= JJ g2(x,y)dxdy.
D D
563 Действительно, имеем
