Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Архипов Г.И. -> "Лекции по математическому анализу" -> 165

Лекции по математическому анализу - Архипов Г.И.

Архипов Г.И., Садовничий В.А., Чубариков В.Н. Лекции по математическому анализу — M.: Высш. шк., 1999. — 695 c.
ISBN 5-06-003596-4
Скачать (прямая ссылка): lexiipomatematanalizu1999.djvu
Предыдущая << 1 .. 159 160 161 162 163 164 < 165 > 166 167 168 169 170 171 .. 201 >> Следующая

§ 11. СВОЙСТВА ГЛАДКОГО ОТОБРАЖЕНИЯ НА ВЫПУКЛОМ

МНОЖЕСТВЕ

Известно, какую большую роль в построении теории однократных интегралов играет метод замены переменной. В случае же кратных интегралов роль этого метода не меньше (а быть может, и больше).

Для его обоснования нам понадобятся некоторые свойства гладких отображений.

Пусть функция у (у), у = (уь.. • ,уп), определена на компактной измеримой области D С Ж" и интегрируема на D. Пусть I обозначает интеграл

Рассмотрим отображение у = <р(х) измеримого компакта Dq CRn на множество D, которое устанавливает взаимно однозначное соответствие между внутренними точками множеств D и Do.

Напомним, что отображение у = <р(х) задается системой п функций, yi = ^i(xb .. .,хп), ... Уп = <рп{х 1,...,хп), определенных на D0.

Будем считать, что каждая из этих функций имеет все непрерывные частные производные на Do.

ЗамечанияЛ. Функции у?*(х) называются криволинейными координатами, определенными на Dq.

2. Условие взаимной однозначности отображения <р : Do —> D для внутренних точек области Do обеспечивается требованием отличия от нуля якобиана этого отображения в каждой точке области Dq (теорема об обратном отображении).

Перейдем теперь к формулировке и доказательству утверждений о гладких отображениях на областях.

Теорема 1. Пусть Do выпуклое и замкнутое множество и <р(х) гладкая функция на множестве Do. Пусть также точки х и х + Ах принадлежат Dq. Тогда существует точка ? = х+ОАх, 0 < в < 1, такая, что А(р = (Дх, grad у?(^)).

Доказательство. Рассмотрим функцию h(t) одной переменной t, 0 < t < 1,

Ясно, что h(t) гладкая функция на отрезке [0,1]. Следовательно, к ней можно применить формулу Лагранжа конечных приращений.

D

h(t) = <р(х + tAx).

572 Тогда существует число в, 0 < 0 < 1 такое, что

A<p = Ah = h(l) - Л(0) = Л'(0)(1 - 0) = Л'(0).

Функция Л(t) является сложной функцией от t и по правилу дифференцирования сложной функции получим

h(9) = Axl + • • ¦ + Щахп = (A*,gradp(O),

uxі oxn

где ? = ж + в Ах.

Теорема 1 доказана.

Теорема 2. Пусть <р(х) гладкое отображение выпуклого компакта Dq на область D. Тогда существует число с > 0 такое, что для любых точек oi, аг Є Dq справедливо неравенство ||^(ai)—p(a2)|| < cjjai — агії, где ||х|| длина вектора в евклидовой метрике.

Доказательство. Из теоремы 1 при k = 1,..., п имеем ^fc(ai) - <Pk{a2) = &<Рк = (a2 - ai,grad Wk(Ifc)),

где ^fc = ai + ^fe(аг — ai) и вк — некоторое число из интервала (0,1). Далее воспользуемся неравенством Коши |(a,6)[ < ||a||-||6||. Получим

< Ila2 - aill • |jgradv?fc(^fc)||.

Поскольку Do компакт и функция || gradpfc(a;)|| непрерывна на Dq , она ограничена на этом компакте некоторой постоянной Cfc > 0. Используя это и числовое неравенство

yja\ + - - + al< Kl + - -- + lonl,

будем иметь

||Ду>|| < IAp1I + • • • + IApnI < (Cl + • • • + сп)||Дх|| = сЦДяЦ,

где Ax = аг — ai. Теорема 2 доказана.

Обозначим через Atp(X) матрицу Якоби отображения ф :Rn —>R" в точке х.

Определение X. Линейное отображение Ay = Alft (х) • Ax приращения Ax вектора x называется дифференциалом отображения <р и обозначатся символом dcp(x).

Очевидно, что d<p(x) вектор с координатами

d<Pk(x) = (Ai,gradpfc(i)).

573 ТеоремаЗ. Пусть <р — гладкое отображение выпуклого компакта Dq и

r(x, Ах) = А<р — dip. Тогда имеет место следующий равномерный предел

яря ЦД.ІИ0.

\\Ах\\ D0

Другими словами, существует числовая функция a (Ax) —у 0 при Ax —» 0 такая, что для всех х Є Dq справедливо неравенство

||г(ж, Дж)|) < a(Ax)|JAx||.

Доказательство. Рассмотрим к-е координаты векторов А<р и d<p. По определению имеем

d<pk = (Ax,grady?fc(x)),

а из теоремы 1 при некотором ? получим

ДtPk -<Рк(я + Ах) - tpk(x) = (Ax,grady?*(?)).

Следовательно,

Atpk ~ d<pk - (Аху grad tpk (?) - grad <рк(ж)).

Далее, так как частные производные отображения (р непрерывны на компакте Dq, то в силу их равномерной непрерывности на Do будем иметь

dyfrffl. _ д<рк(х)

dxs dxs

где Qffc(Ax) зависит только от Ax и <**(Дж) —>¦ 0 при Ax —>• 0. Отсюда, используя неравенство Коши, получим

\Atpk - d<pk\ < IIAijj • ^ak(Ax).

Следовательно,

п п

||г(х, Дж)|| < ElAV* - d<pkI < j|Ax|j • y/n ^^ Ock(Дж) = а(Дх)||Дх||, Jt = I k-l

причем аг(Дх) 0 при Ax —у 0. Теорема 3 доказана.

< aJt(Ax), Лекция 12

§ 12. ОБЪЕМ ОБЛАСТИ В КРИВОЛИНЕЙНЫХ КООРДИНАТАХ. ТЕОРЕМА О ЗАМЕНЕ ПЕРЕМЕННЫХ В КРАТНОМ ИНТЕГРАЛЕ

Докажем теорему об объеме области в криволинейных координатах.

Теорема 1. Пусть Q выпуклый измеримый по Жордану компакт и R образ его при гладком взаимно однозначном отображении

ф. Тогда:

1) множество R измеримо по Жордану;

2) < I • ¦ / \J\dp., где J — определитель матрицы Якоби

Q

(якобиан) отображения ф.

Напомним, что определение матрицы Якоби и дифференциала отображения дано в конце предыдущего параграфа.

Доказательство. Ограничимся рассмотрением случая плоских областей Q CR2. Заметим сразу, что так как модуль якобиана отображения ф является непрерывной функцией на Q, то эта функция интегрируема на Q.
Предыдущая << 1 .. 159 160 161 162 163 164 < 165 > 166 167 168 169 170 171 .. 201 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed