Лекции по математическому анализу - Архипов Г.И.
ISBN 5-06-003596-4
Скачать (прямая ссылка):
§ 11. СВОЙСТВА ГЛАДКОГО ОТОБРАЖЕНИЯ НА ВЫПУКЛОМ
МНОЖЕСТВЕ
Известно, какую большую роль в построении теории однократных интегралов играет метод замены переменной. В случае же кратных интегралов роль этого метода не меньше (а быть может, и больше).
Для его обоснования нам понадобятся некоторые свойства гладких отображений.
Пусть функция у (у), у = (уь.. • ,уп), определена на компактной измеримой области D С Ж" и интегрируема на D. Пусть I обозначает интеграл
Рассмотрим отображение у = <р(х) измеримого компакта Dq CRn на множество D, которое устанавливает взаимно однозначное соответствие между внутренними точками множеств D и Do.
Напомним, что отображение у = <р(х) задается системой п функций, yi = ^i(xb .. .,хп), ... Уп = <рп{х 1,...,хп), определенных на D0.
Будем считать, что каждая из этих функций имеет все непрерывные частные производные на Do.
ЗамечанияЛ. Функции у?*(х) называются криволинейными координатами, определенными на Dq.
2. Условие взаимной однозначности отображения <р : Do —> D для внутренних точек области Do обеспечивается требованием отличия от нуля якобиана этого отображения в каждой точке области Dq (теорема об обратном отображении).
Перейдем теперь к формулировке и доказательству утверждений о гладких отображениях на областях.
Теорема 1. Пусть Do выпуклое и замкнутое множество и <р(х) гладкая функция на множестве Do. Пусть также точки х и х + Ах принадлежат Dq. Тогда существует точка ? = х+ОАх, 0 < в < 1, такая, что А(р = (Дх, grad у?(^)).
Доказательство. Рассмотрим функцию h(t) одной переменной t, 0 < t < 1,
Ясно, что h(t) гладкая функция на отрезке [0,1]. Следовательно, к ней можно применить формулу Лагранжа конечных приращений.
D
h(t) = <р(х + tAx).
572Тогда существует число в, 0 < 0 < 1 такое, что
A<p = Ah = h(l) - Л(0) = Л'(0)(1 - 0) = Л'(0).
Функция Л(t) является сложной функцией от t и по правилу дифференцирования сложной функции получим
h(9) = Axl + • • ¦ + Щахп = (A*,gradp(O),
uxі oxn
где ? = ж + в Ах.
Теорема 1 доказана.
Теорема 2. Пусть <р(х) гладкое отображение выпуклого компакта Dq на область D. Тогда существует число с > 0 такое, что для любых точек oi, аг Є Dq справедливо неравенство ||^(ai)—p(a2)|| < cjjai — агії, где ||х|| длина вектора в евклидовой метрике.
Доказательство. Из теоремы 1 при k = 1,..., п имеем ^fc(ai) - <Pk{a2) = &<Рк = (a2 - ai,grad Wk(Ifc)),
где ^fc = ai + ^fe(аг — ai) и вк — некоторое число из интервала (0,1). Далее воспользуемся неравенством Коши |(a,6)[ < ||a||-||6||. Получим
< Ila2 - aill • |jgradv?fc(^fc)||.
Поскольку Do компакт и функция || gradpfc(a;)|| непрерывна на Dq , она ограничена на этом компакте некоторой постоянной Cfc > 0. Используя это и числовое неравенство
yja\ + - - + al< Kl + - -- + lonl,
будем иметь
||Ду>|| < IAp1I + • • • + IApnI < (Cl + • • • + сп)||Дх|| = сЦДяЦ,
где Ax = аг — ai. Теорема 2 доказана.
Обозначим через Atp(X) матрицу Якоби отображения ф :Rn —>R" в точке х.
Определение X. Линейное отображение Ay = Alft (х) • Ax приращения Ax вектора x называется дифференциалом отображения <р и обозначатся символом dcp(x).
Очевидно, что d<p(x) вектор с координатами
d<Pk(x) = (Ai,gradpfc(i)).
573ТеоремаЗ. Пусть <р — гладкое отображение выпуклого компакта Dq и
r(x, Ах) = А<р — dip. Тогда имеет место следующий равномерный предел
яря ЦД.ІИ0.
\\Ах\\ D0
Другими словами, существует числовая функция a (Ax) —у 0 при Ax —» 0 такая, что для всех х Є Dq справедливо неравенство
||г(ж, Дж)|) < a(Ax)|JAx||.
Доказательство. Рассмотрим к-е координаты векторов А<р и d<p. По определению имеем
d<pk = (Ax,grady?fc(x)),
а из теоремы 1 при некотором ? получим
ДtPk -<Рк(я + Ах) - tpk(x) = (Ax,grady?*(?)).
Следовательно,
Atpk ~ d<pk - (Аху grad tpk (?) - grad <рк(ж)).
Далее, так как частные производные отображения (р непрерывны на компакте Dq, то в силу их равномерной непрерывности на Do будем иметь
dyfrffl. _ д<рк(х)
dxs dxs
где Qffc(Ax) зависит только от Ax и <**(Дж) —>¦ 0 при Ax —>• 0. Отсюда, используя неравенство Коши, получим
\Atpk - d<pk\ < IIAijj • ^ak(Ax).
Следовательно,
п п
||г(х, Дж)|| < ElAV* - d<pkI < j|Ax|j • y/n ^^ Ock(Дж) = а(Дх)||Дх||, Jt = I k-l
причем аг(Дх) 0 при Ax —у 0. Теорема 3 доказана.
< aJt(Ax),Лекция 12
§ 12. ОБЪЕМ ОБЛАСТИ В КРИВОЛИНЕЙНЫХ КООРДИНАТАХ. ТЕОРЕМА О ЗАМЕНЕ ПЕРЕМЕННЫХ В КРАТНОМ ИНТЕГРАЛЕ
Докажем теорему об объеме области в криволинейных координатах.
Теорема 1. Пусть Q выпуклый измеримый по Жордану компакт и R образ его при гладком взаимно однозначном отображении
ф. Тогда:
1) множество R измеримо по Жордану;
2) < I • ¦ / \J\dp., где J — определитель матрицы Якоби
Q
(якобиан) отображения ф.
Напомним, что определение матрицы Якоби и дифференциала отображения дано в конце предыдущего параграфа.
Доказательство. Ограничимся рассмотрением случая плоских областей Q CR2. Заметим сразу, что так как модуль якобиана отображения ф является непрерывной функцией на Q, то эта функция интегрируема на Q.