Лекции по математическому анализу - Архипов Г.И.
ISBN 5-06-003596-4
Скачать (прямая ссылка):
«СО </*</*< S(T).
Лемма 4 доказана.
Л е м м а 6. Для любого разбиения T имеем Q(T) > I* — Im.
Действительно, из леммы 4 получим
Q(T) = S(T) s(T) > Г - s(T) > Г -Im. Лекция 26
§ 3. КРИТЕРИЙ РИМАНА ИНТЕГРИРУЕМОСТИ ФУНКЦИИ НА
ПРЯМОУГОЛЬНИКЕ
Теоремаї (критерий Римана интегрируемости функции на прямоугольнике). Для того чтобы ограниченная функция д(х,у) была интегрируема на P — [«i, 6i] х [a2, b2], необходимо и достаточно, чтобы выполнялось одно из Эквивалентных условий:
1) lim Q(T) = О,
2) Im — /»,
3) inf Q(T) = O.
Доказательство. Докажем сначала эквивалентность условия интегрируемости функции условию 1.
Необходимость. Пусть lim v(V) = I. Это значит, что для любого
Єї > 0 найдется = <Ji(?i) > 0 такое, что для любого размеченного разбиения V с условием Av < имеем \a~(V) — І\ < Є\, т.е.
і-єі <<r(v) </ + ?,. (1)
Рассмотрим произвольное неразмеченное разбиение T с условием AT < • Для него получим
s(T)= inf MV), S(T)= sup c(V).
VZAriT) VtAP{ Т)
Тогда из (1) вытекает, что
І-єі < s(T) < І+ Єї, І-єі < S(T) < І+ єі.
Следовательно, значения s(T) и S(T) лежат на одном отрезке [I — Єі,ї + Єі] длины 2єі, т.е. имеет место неравенство
Q(T) = S(T) - s(T) < 2еь
Если мы возьмем Єї = є/З, ?(г) = <М?і)» то получим, что для любого є > 0 существует число S = > 0 такое, что при любом разбиении T с условием At < S имеем O(T) < є, т.е. справедливо соотношение lim Q(T) = 0. Необходимость доказана.
Достаточность. Надо доказать, что из условия lim Q(T) = О
Ar-+0
следует существование предела ^im^<r(V).
550 Сначала убедимся, что /, = I*. Из леммы 6 для любого разбиения T Є Ap имеем
0<Д-Г<П(Т),
и, следовательно, h = — I* -> 0 при At —» 0.
В силу того, что h — постоянное число, то h — 0 и /* = Г = I. Осталось доказать, что cr(V) I при Ay —>¦ 0. Возьмем произвольное положительное число Єї. Из условия существования предела lim O(T) найдется число = ?і(єі) >0 такое, что для всех разби-
ений Г, At < Si1 выполняется неравенство Q(T) < Но тогда для любой разметки V этого разбиения будем иметь
s(T(V)) < CT(V) < S(T(V))i s(T(V)) </» = / = /*< S(T(V))i ¦
S(T(V)) - *(Г(К)) = Q(T) < є,
т.е. обе точки cr(V) и I лежат на отрезке [s(ur(V)), S(X1(Vr))J, длина
которого не превосходит Єї. Это значит, что расстояние между этими
точками тоже не превосходит Єї, поэтому для любого размеченного
разбиения V с условием Ay < Si имеем |f(V) —/| < Є\. Следовательно,
lim f (V) = I. Достаточность доказана. Д
Итак, условие 1 теоремы 1 эквивалентно условию интегрируемости функции по Риману.
Докажем теперь эквивалентность условий 1, 2 и 3. Для этого убедимся в справедливости цепочки утверждений:
1) ==> 2) 3) 1).
а) б) 'в)
а) Нам надо доказать, что если lim Q(T) = 0, то U=I*, Но этот
Дт-+0
факт уже установлен при доказательстве достаточности условия 1.
б) Сначала докажем, что
infU(T)-h-I* -I..
Число h = I* -Im — нижняя грань Q(T)1 поскольку из леммы б имеем
Q(T) > Г - L = h.
Докажем, что h — точная нижняя грань множества {П(Г)}. Для этого возьмем произвольное є > 0. Тогда в силу определения сумм Дарбу будем иметь, что существуют разбиения Ti и T2 такие, что
S(T1) <Г + |, S(T2) > Г
551 Возьмем разбиение Тз = Ti UT2. Получим
S(T3) < S(T1) < Г + Є~, s(T3) > s(T2) > Г - 1. Отсюда следует, что
Q(T) < Г -/*+? = Л + е,
т.е. Л = inf
Таким образом, из доказанного и условия 2 имеем
MQ(T) = Г-Im=O.
Тем самым утверждение б) доказано.
в) Нам надо доказать, что если inf Q(T) = 0, то hmQ(T) = 0.
Имеем, что для любого є > 0 существует разбиение T1 такое, что Q(Ti) < є/2. Разбиению T1 соответствует пара разбиений (Ti (ж), Ti (у)) по осям Ox и Oy. Количество точек разбиений Ti (ж), Ti (у) обозначим через q.
Далее, поскольку д(х,у) ограничена на Pt существует M > 0 такое, что |<7(я,у)| < M для всех (х, у) Є Р. Обозначим через d длину наибольшей стороны прямоугольника Р. Положи^ S =
Возьмем теперь любое разбиение T = (Т(аг), Т(у)) с условием At < S. Тогда для разбиения T2 = TuT1 имеем
Q(T2) < Q(T1) <
поскольку T2 есть измельчение разбиения Ti, т.е. T2 DT1. Перейдем к оценке сверху величины fi(T). Имеем
Q(T) = Q(T2) + ск(Т, Ti).
Здесь a(T,Ti) = а(Т,Т2) > 0, поскольку T2DT1. Кроме того,
а(Т, Ti) = Д**Ду<-U1ktlAx1kAyl-----J;}Axir)Ay^) <
(M)
- ^kiAxkAyi1
(M)
причем символ обозначает, что суммирование ведется по тем
(M)
парам (&,/)> Для которых прямоугольник PktI разбиения T разлагается на меньшие прямоугольники с индексами ',...,^ посредством
552 разбиения Ti (или T2). Другими словами, пара (к, I) такова, что внутри отрезков A^ или Д<у) лежит по крайней мере одна точка разбиения Т\(х) или разбиения T1(у).
Достаточно оценить сверху величину а(Т,Т\). Будем считать, что
символ Yl Yl означает, что суммирование ведется по тем парам (к, I),
(к) і
для которых внутри отрезка Aj^ находится по крайней мере одна точка разбиения T1(X), а переменная I принимает все возможные значения, определяемые разбиением Т. Аналогично определяется символ Yl H • При проведении оценки воспользуемся следующими неравен-
