Лекции по математическому анализу - Архипов Г.И.
ISBN 5-06-003596-4
Скачать (прямая ссылка):
2) определим верхние и нижние суммы Дарбу и докажем критерий Римана интегрируемости функции от двух переменных;
3) установим свойства двойного интеграла, аналогичные свойствам однократного интеграла.
Начнем с определения базы множеств В и В . Множество всех неразмеченных разбиений прямоугольника обозначим через Ар, а
546 размеченных — через Ap. В качестве окончаний bs базы В возьмем множество {K|Av < <?}, т.е. множество разбиений, состоящее из тех V Є Ap, для которых диаметр Ду меньше, чем S > 0.
Так как cr(V) определена всюду на Ap, то, очевидно, тогда определение двойного интеграла, данное выше, эквивалентно определению
предела Iimtr(K) по базе В . Проверка справедливости этого утвер-в'
ждения состоит в том, что надо формально выписать определение предела по базе и сравнить его с данным выше определением. Далее базу В будем обозначать символом Ay —> 0.
Совершенно аналогично определяем базу At —> 0 для всех неразмеченных разбиений Ар.
Итак, двойной интеграл есть предел по некоторой базе. А потому уже можно говорить о единственности двойного интеграла, применять теорему о переходе к пределу в неравенствах и так далее, получая отсюда различные утверждения о двойном интеграле типа его линейности, монотонности и другие. Позднее мы некоторые такие естественные свойства приведем.
Отметим, что неразмеченное разбиение T прямоугольника P можно определить и как пару (Tx, Ty), состоящую из неразмеченного разбиения Tx : а\ — Xо < < ¦'•¦.< хт = &i отрезка [аі, на оси Ox и неразмеченного разбиения Ty : а2 — Уо < у\ <¦••< уп = h отрезка [а2, Ь2] на оси Oy. Это разбиение T получается проведением т + 1 вертикальных прямых х = хк, к = 0,..., m и п + 1 горизонтальных прямых у = уі, I = 0,.. .,п. Снова заметим, что если у размеченного разбиения V отбросить разметку точками Є Pk ,h то, оче-
видно, возникает неразмеченное разбиение, которое будем обозначать символом T — T(V).
Определение 7. Множество всех размеченных разбиений {V}, которым отвечает одно и то же неразмеченное разбиение То, будем называть множеством разметок То и обозначать символом Ap(T0). Если V 6 Ap(To), то будем говорить, что V является разметкой То или, что то же самое, T(V) = T0.
§ 2. СУММЫ ДАРБУ И ИХ СВОЙСТВА
Переходим теперь к построению теории Дарбу для двойного интеграла Римана по прямоугольнику.
Обозначим для некоторого неразмеченного разбиения T прямоугольника P через MktI и mk,t величины
Mfcji= sup g(x,y),mkji= inf g(x,y).
17*
547 Тогда верхней суммой Дарбу функции д(х, у)у соответствующей (отвечающей) разбиению Ty называется сумма S(T)y где
m п
5(Т) = Affc,i AarfcAw,
A=II=I
а сумма
m п
s(T) = 5
A = I i=l
называется нижней суммой Дарбу.
Омега-суммой Q(T), отвечающей разбиению Т, назовем величину
m ті
Q(T) = S(T) - s(T) = J] 53 WfcltAarfcAyi,
A=II=1
где Ufcjt = Mfcjt - mfcjt.
Определение 1. Число /* = ^inf S(T) называется верхним интегралом Дарбу от функции д(хуу) по прямоугольнику Py а число
I* = sup s(T) — нижним интегралом Дарбу от функции д(х,у). TeAp
Нам потребуются следующие свойства сумм Дарбу.
JI е м м а 1. Для любого размеченного разбиения V Є Ap имеем
s(T(V)) < *(V) < S(T(V)).
JI е м м а 2. Зафиксируем некоторое разбиение То E Ар. Будем иметь следующие соотношения
s(Tq)= inf (T(V)yS(T0)= sup a(V). VeAp(T0) VeA'p{To)
JI e м м a 3. Для любых неразмеченных разбиений Т\ и T2 имеем
s(T1) < S(T2).
Л е м м а 4. Для ограниченной на прямоугольнике P функции верхний P и нижний Iif интегралы Дарбу существуют, причем для любого разбиения T € Ap справедливы неравенства
«СТ) < Г* < Г < S(T).
548 Л е м м а 5. Размеченное разбиение V принадлежит окончанию Ь'& Є Bi тогда и только тогда, когда T(V) Є &<$.
Доказательство лемм аналогично доказательству соответствующих утверждений в одномерном случае и не представляет большого труда. Стоит лишь сказать о лемме 3, поскольку там участвуют два разных разбиения. Здесь, как и в одномерном случае, введем понятие измельчения разбиения.
Определение 2. Неразмеченное разбиение T2 называется измельчением разбиения Ti, если разбиение T2 получается из Т\ добавлением конечного числа новых точек разбиения на оси Ox и по оси Oy. Говорят еще, что T2 следуем за Ti и пишут T2 D Ti или Ti С T2.
В частности, любое неразмеченное разбиение T есть измельчение самого себя. Далее, очевидно, что при измельчении разбиения T нижняя сумма Дарбу s(T) не может уменьшиться, а верхняя сумма Дарбу S(T) не может увеличиться. Поэтому для доказательства утверждения леммы 3 надо на каждой оси Ox и Oy взять разбиение Тз, объединяющее разбиения Ti и T2. Тогда получим
s(T1)Ks(T3)KS(T3)KS(T2).
Отсюда имеем s(Ti) < ,S(T2), что и доказывает утверждение леммы 3.
Отметим Также, что утверждение леммы 4 по существу вытекает из.леммы 3. Действительно, если образуем числовое множество M1, состоящее изо всех значений величин s(T), и множество M2 значений величин S(T), то утверждение леммы 3 означает, что любой элемент a Є M2 есть верхняя грань множества Mi, а потому наименьшая верхняя грань множества М\, т.е. Im не превосходит этого элемента a Є Mi. Отсюда для любого числа a Є Mi имеем UKa. Это значит, что Im является нижней гранью множества M2. Но величина I*, по своему определению, есть точная нижняя грань множества M2, и потому для любого разбиения T Є Ap имеем
