Лекции по математическому анализу - Архипов Г.И.
ISBN 5-06-003596-4
Скачать (прямая ссылка):
МЯм) < J--J \J\dfi.
kj
Здесь, как и раньше, Rk,i = <p(Qk,i) = <p(Pk,i)-
Суммируя по всем парам (к,1), мы приходим к неравенству
»(R) = P(Rkfl) < 4C2^1 + Л • • f \J\ d?.
(M) Q
В силу произвольности выбора Є\ > 0 оно влечет за собой справедливость неравенства
h(R) < J - J \J\dfi.
Теорема 2 доказана.
Теорема 3. Пусть условия теоремы 2 выполнены и, кроме того, при всех X Є Q имеет место неравенство j J(p j > S1 где S > 0 — некоторое фиксированное число. Тогда справедлива формула
H(R) = J - J \ J\dfi.
Q
j Доказательство. Рассмотрим отображение ф, определенное на множестве R и обратное к отображению ф. Тогда ф является гладким отображением, его якобиан J^ непрерывен и
W = I^1I < ^1-
По теореме 2 имеет место оценка
H(R) < J -J \J9\ dM = Snps(T)1
Q
578 где s(T) — нижняя сумма Дарбу по неразмеченному разбиению T множества Q.
п
Имеем s(T) = 171 кVk, где Qk — элемент разбиения T множества к = 1
Q на области Qi ,...,Qn, измеримые по Жордану, гпк — inf | Цк =
Qk
?(Qk) и Qk = ф(Як)- По теореме 2 при всех к от 1 до п справедлива оценка
P(Qk) < J J I J*\dfi.
Rie
Применяя к последнему интегралу теорему о среднем, получим
J-JІЛ"! d» < Mkfi(Rk)1
Rk
где Mk = sup I J^ I. Теперь заметим, что J^ = J^1, поэтому тк = M^ Rk
Но тогда приходим к неравенству
п п
«СП < Y^mkMkfi(Rk) = Y^(Rk) = ?(R)¦ к = 1 * = 1
Тем самым получены неравенства
H(R) < J-J \Jf\ dp < MR),
Q
которые равносильны равенству
fi(R) = J ... J\Jt\dfi.
Q
Теорема 3 доказана.
Теорема 4. Утверждение теоремы 3 остается д силе и без ограничения на значение якобиана
Доказательство. Рассмотрим множество К точек X Є Qi в которых якобиан J(x) = J<p(x) обращается в нуль. Покажем, что множество точек К — замкнуто. Действительно, если х§ — предельная точка для К, то найдется последовательность хп Є К такая, что хп —> Xq при п —>¦ оо. Тогда J(?n) = 0 и в силу непрерывности функции J(x) справедливы равенства
J(xо) = J( lim хп) = lim J(xn) ~ 0.
n—юс moo
579 Следовательно, хо Є К.
Зафиксируем произвольное число S > 0. Каждую точку х Є К окружим окрестностью, в которой функция J(x) удовлетворяет неравенству jJ(i)| < 8. Поскольку К — компакт, то из всей совокупности окрестностей можно выделить конечное подпокрытие. Обозначим выделенные окрестности через Kq и разобьем множество Q на два множества Qo и Qi, полагая Qo = Ко П Q и Qi = Q \ Qq.
Тогда Q =r Q0 U Qi и Qo П Qi = 0. Оба множества Q0 и Qi, очевидно, измеримы по Жордану. Кроме того, Qo — открыто, а Q — замкнуто, поэтому Qi — тоже замкнуто. Тогда по теореме Вейерштрасса функция jJ(x)| достигает на Qi своего минимального значения т в некоторой точке Xq Є Qi. Число т больше нуля, так как Xq не входит в А' С Qo, поскольку Qo и Qi не пересекаются.
Следовательно, к образу Ri множества Q1 при отображении <р можно применить теорему 3, а к образам R и Rq множеств Q и Qo — теорему 2. Тогда, используя еще и теорему о среднем, получим
Q
О < Ii(R0) < |Jp| dfi < Sii(Q0) < Sp(Q).
Q0
Следовательно,
Q
(/¦••/ Wdfi-Ii(Ri)] +/'¦¦/ l^l^-MAo)
V Qi /Qo
<
Qo
В силу произвольности выбора S > 0 это означает, что
Q
Теорема 4 доказана.
580 Теорема5 (формула замены переменных в кратном интеграле). Пусть Dq — измеримый по Жордану компакт и <р — гладкое взаимно .однозначное отображение компакта Dq на D. Пусть также функция д(у) интегрируема на Dy а функции f(x) = у (?(jr)) | J1^ (х)| интегрируема на Dq. Тогда имеем
J ' J9ІУ)<ІУі • • <*Уп = J • • • J f{x)dxi.. .dxn.
D D0
Доказательство. Возьмем произвольное разбиение T
области D на измеримые области Rii..., Rt, и пусть <p(Qa) = Rs, s =
1 Обозначим через ma = mfy(y), Ms = supд(у). По теореме о
R* Rt
среднем имеем
тз J "' J IjI^ </•••/<M,J--J\j\d?.
Q> Q. Q.
Из теоремы 4 следует, что = /•" Поэтому, просумми-
Q*
ровав предыдущие неравенства по s от 1 до t, получим
У>,р(Я,)< f f g(<p(x))\Mi)\dx J dJ
т.е. справедливы следующие неравенства для верхних и нижних сумм Дарбу от функции у (у) по области D, отвечающих разбиению T :
s(T) </••¦/д(Ф(х))\Ы*)№ < S(T).
D0
В силу интегрируемости функции у(у) получим s(T) —У A, S(T) —> А
при At —> 0, где А = J- • • /g(y)dy. Следовательно, имеем
D
I <f g(y)dy = J Jд(ф(х))\Мї)№-
D Do
Теорема 5 доказана.
Замечание. В теоремах 4 и 5 в качестве отображения <р можно взять любое ортогональное отображение. Якобиан этого отображения равен 1. Следовательно, мера Жордана и интеграл Римана инвариантны относительно движений пространства и их определение не зависит от
581 выбора прямоугольной системы координат. Отметим, что инвариантность меры Жордана ранее была получена нами из геометрических соображений.
Примеры. 1. Переход к полярным координатам от прямоугольных координат производится по формулам
х — т cos tp, у — г sin if, г > 0, 0 < <р < 2тг.
Якобиан отображения [х,у) —> (г, <р) равен г. Формула замены переменных имеет вид
JJ g(x,y)dxdy — JJ g(r cos ip, г sin ip)rdrd<p.
