Лекции по математическому анализу - Архипов Г.И.
ISBN 5-06-003596-4
Скачать (прямая ссылка):
Пусть P — некоторый стандартный квадрат, содержащий компакт Q. Пусть, далее, квадраты PkJ со стороной /і составляют разбиение квадрата Р. Тогда множества Qkti = Q Л Pk j образуют разбиение г компакта Q на выпуклые измеримые множества. Зафиксируем произвольное ei > 0 и возьмем величину h столь малой, чтобы общая площадь всех квадратов PktI-, содержащих хотя бы одну точку границы dQ компакта Q, была бы меньше е\. Назовем такие пары (k,l) особыми, а остальные — обычными.
Диаметр dkti каждого множества Qkii, отвечающего особым (Ar,/) при отображении ф, по теореме 2 возрастает не более, чем в с раз, т.е. его образ Rkj можно накрыть кругом радиуса, не превосходящего ch или квадратом со стороной, не превосходящей 2ch. Его площадь не превосходит 4с2h2. Обозначим через /і і сумму по особым парам (k,l) площадей Rk,i = p(Qk,i). Имеем
^^ і _і
щ = Y, МЯк,і) < ? 4cVtn,/) < 4C2^1.
(fc,i) (*,о
Поскольку dR принадлежит объединению этих Rk і, p>(dR) < 4с2єь Ввиду произвольности выбора числа 5-і > 0 отсюда имеем, что n(dR) = О, т.е. множество R измеримо по Жордану.
Обозначим через p.(R) меру Жордана области R. Тогда имеем
?(R) = /J1 + Ц21 где величина определена выше и = Л и(&к,і)-
(к,і)
575 _II
Символ ]Г] означает, что суммирование ведется по обычным парам
(*.0
(M).
Рассмотрим теперь какой-либо квадрат PktIy целиком лежащий внутри Q. Тогда имеем QktI = Pk,і • Обозначим его вершины через X0,Xo + abx0 + 02,X0 + ai -f a2, причем ||ai|f = ||a2|| = h. Очевидно, что для любого X Є PklI имеем ||х —Xoll = ||Дё|| < 2h. Пусть А — матрица Якоби отображения (р. Тогда при линейном отображении с этой матрицей А квадрат Pk j перейдет в параллелограмм К с вершинами уо = <р(хо)уУі = + Aaі = у0 + 6ьу2 = <р(яо) + Aa2 =
Уо + уз = <р{хо) + A(ai + a2) = уо + + b2).
Пусть а(Дх) — функция, определенная в утверждении теоремы 3 §11. Заключим стороны параллелограмма в "рамку" К і, образованную точками, отстоящими во внешнюю сторону от параллелограмма на расстояние, не превосходящее р — a(2h) > 2h. Тогда К С К\.
Докажем, что Rkj С Kil то есть, что для любой точки х Є Pk,і ее образ у = <р(х) ? Ki.
Действительно, так как х Є Pk }і, то уо + d<p(x) Є К. Поэтому имеем
)|у?(х) - <р(хо) - d<p(x)Il = ||f(x0, Дх)|| < 2ha(2h) = р,
ТО есть ф(х) 6 К1-
Теперь заметим, что множество Rk і измеримо по Жордану по тем же причинам, что и R. Периметр параллелограмма К не превосходит с - Ah. Поэтому, исходя из построения фигуры К і будем иметь p(Ki) < р(К) + р • с • Ah + Airp2.
Поскольку RkJ С Kii то величина p(Rk>i) удовлетворяет неравенству
p{Rkti) < p(Ki). Используя эти неравенство, приходим к оценке
P(Rkil) < p(Ki) < р(К) + р ¦ с • 8Л + Anp2 = р(К) + A(h).
Из линейной алгебры известно, что для линейного отображения с матрицей Ai определйтель которой равен Jy и при котором квадрат PkiI переходит в параллелограмм Ki справедливо равенство
р(К) = \J\p(Pkil).
Используя это равенство, получим
МДм) < WQm) + Д(А)-
Далее, для каждой особой пары (k. I) выберем произвольным образом точку xkii € Qkiі и образуем сумму
_і
trI = Y \M*k,i)\p(Qk,i),
576 где означает, что суммирование ведется по особым парам (А:,/). Так как функция \J$(x)\ непрерывна на компакте Q, то по теореме
Вейерштрасса она ограничена некоторой постоянной C2 > 0. Поэтому
___'
ki I < с2 E < c^i •
_ H
Пусть а = CT1-1-(7-2, где (T2 = Yl Zi(QklI), причем в последней
сумме суммирование распространено на обычные пары (k,l). Оценим разность между интегральной суммой <т и величиной p(R). Имеем
ИЯ) - <г| = I Е"ИяМ) -1-М**,i) MQ*,<)) + Е' "(?.') - <
<іЕ"і + іЕ'і+м.
Воспользуемся ранее доказанными неравенствами. Получим
іЕ" і < тгмо). E' л2 = Е" ивм) < /«(«).
E
<4с2еі, ki I < c2^i-
Сумма о* представляет собой интегральную сумму для функции jJ<p(x)\ по множеству Q. При h —> 0 эта сумма сходится к интегралу
J
= Jj
Поскольку стремится к нулю при Л —> 0, то из полученных
выше оценок при h —У 0 находим
Ii(R) < J + |/х(Я) - Jj < J + C1 (4с2 + с2).
В силу произвольности выбора числа є і отсюда получим, что P(R) < J.
Теорема 1 доказана полностью.
Теорема2. Пусть Q — измеримый по Жордану компакт в пространстве Rn и R образ его при гладком взаимно однозначном отображении (р. Тогда
1) множество R измеримо по Жордану,
2) p(R) < f J \J\dp, где J = Jy — якобиан отображения ф.
Q
Доказательство. Покажем, что в условии теоремы 1 сложно отказаться от требования выпуклости множества Q. Для
If) Лекции по математическому анализу
577 этого, как и в теореме 1, рассмотрим разбиение Q на обычные и особые множества Qk,і, полагая при этом, что мера ^(D) объединения D всех стандартных квадратов, содержащих особые множества Qk,h не превышает где є і >0 — любое наперед заданное число. При доказательстве теоремы 1 показано, что мера ц(\?) образа W множества D при отображении ф не превосходит Ас2Є\. Далее, каждое обычное множество Qk i = Pk1I является стандартным квадратом, и тем самым удовлетворяет условиям теоремы 1, поэтому для каждого из них справедливо неравенство
