Лекции по математическому анализу - Архипов Г.И.
ISBN 5-06-003596-4
Скачать (прямая ссылка):
Рассмотрим любое разбиение T прямоугольника P на прямоугольники PktI- Пусть По - множество всех тех Прямоугольников Pfei,
внутри которых находится хотя бы одна точка множества ?>(а). Площадь простейшей фигуры По не меньше S0. Если бы это было не так, т.е. площадь /і(П0) = Є\ < ?0- Покроем границу $По стандартными прямоугольниками общей площадью, це превосходящей ^(^о — Єї)-Тем самым множество D(а) покрыто открытой простейшей фигурой площади, не превосходящей Є\ + ^(є0 — Єї) = + ?i) < єо- Это противоречит нашему предположению. Следовательно, /і(По) > ?о-
Заметим, для любого стандартного прямоугольника из П0 колебание функции на этом прямоугольнике не меньше, чем а. Поэтому для любого разбиения T имеем Q(T) > ас0 > 0. Отсюда получим, что inf Q (T) > або > 0. Но это означает, что рассматриваемая функция не интегрируема на прямоугольнике, что противоречит условию теоремы. Следовательно, наше предположение не имеет места, и, значит, для любого а > 0 лебегова мера p(D(a)) = 0. Необходимость доказана.
Достаточность. Положим а = є/(4р(Р))> S — є/(4М), M = = maxjy(x)|. Так как множество D(а) имеет лебегову меру нуль,
то его можно покрыть простейшей фигурой с общей площадью, меньшей, чем S. Множество D(a) — замкнуто и ограничено, следовательно, оно — компакт. Выделим из системы стандартных прямоугольников, из которых состоит эта простейшая фигура, конечное подпокрытие I. Рассмотрим множество К = Р\1. Оно является компактом. Для любой точки X € К имеем, что ид(х) < а. Из определения ыд(х) получим, что существует квадрат П7(х),7 > 0 такой, что колебание функции д(х) на нем меньше, чем 2а. Квадраты Xl^f2(X) образуют покрытие
585 множества К. Выделим из него конечное подпокрытие V. Продолжим стороны прямоугольников, составляющих I и V до пересечения со сторонами Р. Получим разбиение T прямоугольника Р. Сумму Si(T) представим в виде
_/ __и
Q(T) = YYl UktiAxkAyl +YYl UkliAxkAyl = S1 + S2,
(M) (M)
і
где в сумму ]Г] Yl входят те слагаемые, для которых элемент разбие-(M)
и
ния Pk і С It а в сумму YlYl — те слагаемые, для которых Pkii С V-
(к,і)
Имеем
Si < 2 M YYl Ах*АУі < 2MS>
(M)
__и
Z2<2c<Y^2 <2OCfi(P). (M)
Следовательно,
Q(T) = Si + S2 < 2MS + 2Oifi(P) = є/2 + є/2 = ?.
Таким образом, имеем infQ(T) = 0, т.е. функция интегрируема
на прямоугольнике Р. Теорема 1 доказана.
Теорема2 (критерий Лебега). Ограниченная функция д(х) интегрируема по Риману на прямоугольнике P тогда и только тогда, когда множество D точек разрыва ее имеет лебегову меру нуль.
Доказательство. Необходимость. По теореме 1 для любого натурального числа « множества D(Xjn) имеют лебегову
OO
меру нуль. Отсюда получим, что лебегова мера D= U D(Ifn) равна
п = 1
нулю.
Достаточность. Для любого а > О имеем D(a) С D. Поэтому, если мера fi(D) = 0, то fi(D(a)) = 0. Из теоремы 1 следует интегрируемость функции ^(х) на прямоугольнике Р. Теорема 2 доказана.
Teop емаЗ. Пусть функция д(х) интегрируема на прямоугольнике, m = mfg(x),M — supд(х) и пусть функция f(t) непрерывна на P P
отрезке [m, Af]. Тогда f(g(x)) интегрируема на прямоугольнике Р.
Доказательство. Точка непрерывности функции д(х) будет точкой непрерывности функции f(g(x)). Следовательно,
586 точками разрыва fog могут быть только точки разрыва функции д. И поэтому множество точек разрыва fog имеет лебегову меру нуль, как подмножество множества меры нуль (по критерию Лебега мера множества точек разрыва д(х) равна нулю). Теорема 3 доказана. Лекция 12
§ 14. НЕСОБСТВЕННЫЕ КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
Для обычных однократных интегралов мы определили два вида несобственных интегралов. Аналогично в случае кратных интегралов
назовем:
1) несобственным кратным интегралом первого рода — интеграл по неограниченной области D от ограниченной функции у(х);
2) несобственным кратным интегралом второго рода — интеграл по ограниченной измеримой по Жордану области D от функции д (ж), имеющей конечное число особых точек xi,..., Xk таких, что в любой окрестности каждой из этих точек функция д(х) не ограничена (точки xi,...,Xk не обязаны принадлежать области D).
Пример. Функция д(х, у) = в области D = {(ж, у)|х > 0, у > 0}
имеет особую точку X = 0, у = 0.
Для несобственных интегралов используется то же самое обозначение, что и для собственных интегралов:
= JJ g(xty)dxdy.
Будем для простоты рассматривать только двойные интегралы и
сначала случай несобственных интегралов второго рода с одной особой
точкой а. Проще всего этот интеграл как предел при г —ї 0 интегралов
Ir = f f g(x,y)dxdy) где Dr = D\0{a}r), 0(o, г) — шар радиуса г с Dr
центром в точке а, т.е. по определению имеем
I = JJ д(х, y)dxdy = lim Jr.
D
Это значение / будем называть главным значением в смысле Коши несобственного интеграла от функции д[х,у) по области D.
Аналогично для несобственного интеграла первого рода главным значением в смысле Коши назовем величину I = lim Ir , где
Я-юс
Ir = JJ g{xiy)dxdy, Dr = D П 0(0, R).
Dr
