Математика ее содержание, методы и значение Том 3 - Александров А.Д.
Скачать (прямая ссылка):
Введенные понятия позволяют определить порядок одномерной, двумерной и т. д. связности данных многообразий произвольного числа измерений. Максимальное число имеющихся в какой-либо триангуляции данного многообразия гомологически независимых одномерных, двумерных и т. д. циклов не зависит от выбора триангуляций данного многообразия и называется его порядком связности, или числом Бетти (соответствующей размерности).
Одномерное число Бетти замкнутой ориентируемой поверхности рода р равно 2р (т. е. порядку связности поверхности, как он определялся в § 2). Одномерное число Бетти проективной плоскости равно 0. (Там всякий цикл, не уходящий в бесконечность, ограничивает часть плоскости, т. е. гомологичен нулю, а цикл, уходящий в бесконечность, например проективная прямая, оказывается гомологичным нулю, если взять его дважды.) Двумерное число Бетти всякой неориентируемой поверхности равно нулю (на такой поверхности нет ни одного отличного от нуля двумерного цикла).
Двумерное число Бетти всякой ориентируемой поверхности равно 1. Действительно, если ориентировать надлежащим образом все треугольники какой-нибудь триангуляции ориентируемой поверхности, получим цикл (так называемый основной цикл поверхности). Нетрудно проследить, что всякий двумерный цикл получается из основного цикла умножением его на какое-нибудь целое число. Эти результаты непосредственно обобщаются и на я-мерные многообразия. Заметим еще, что нульмерное число Бетти связного (т. е. не распадающегося на куски) многообразия считается равным 1.
Числа Бетти различных измерений связаны с эйлеровой характеристикой многообразия замечательной формулой, доказанной Пуанкаре и обобщающей теорему Эйлера. Эта формула, известная под названием формулы Эйлера—Пуанкаре, имеет следующий простой вид:
2(-1Гаг=2(-1)гА-
г=0 г=0
1 Это определение, данное выше для триангуляций поверхностей, переносится и на случай триангуляций многообразий любого числа измерений. 200
Глава XVIl 1. Топология
Здесь слева стоит эйлерова характеристика произвольной триангуляции данного многообразия, а числа рг справа суть числа Бетти различных размерностей г этого многообразия. В частности, для ориентируемых поверхностей имеем, как МЫ ТОЛЬКО ЧТО видели, P0 = P2 = 1, Pl = Ip, где р — род поверхности. Это и дает нам теорему Эйлера для ориентируемых поверхностей
ао — ai ~Ь a2 = 2 — 2р.
§ 5. ВЕКТОРНЫЕ ПОЛЯ Рассмотрим простейшее дифференциальное уравнение
У), (2)
заданное в данной плоской области G. Его геометрический смысл заключается в том, что в каждой точке (х, у) области G определено направление, угловой коэффициент которого равен F (х, у), где F(х, у) — некоторая непрерывная функция точки (х, у). Как говорят, в области G задано непрерывное поле направлений; мы можем его легко превратить в непрерывное векторное поле, беря, например, в каждом из заданных направлений вектор единичной длины. Задача интегрирования дифференциального уравнения (2) заключается в том, чтобы разложить, если это возможно, данную плоскую область на попарно не пересекающиеся кривые («интегральные кривые» уравнения) таким образом, чтобы в каждой точке области заданное в ней направление было направлением касательной к единственной интегральной кривой, проходящей через эту точку.
Рассмотрим, например, уравнение
dV — У_
dx X
В каждой точке M (х, у) на плоскости отнесенное ей направление есть очевидно направление луча OM (где О — начало координат). Интегральные кривые суть прямые, проходящие через точку О. Через каждую отличную от О точку плоскости проходит единственная интегральная кривая. Что же касается начала координат, то это особая точка данного дифференциального уравнения (так называемый «узел»), через нее проходят все интегральные кривые.
Если мы возьмем дифференциальное уравнение
dy _ X
dx у '
то увидим, что оно относит каждой отличной от О точке M (х, у) направление, которое перпендикулярно ОМ. Интегральные кривые § 5. Векторные поля
201
в этом случае — окружности с центром в точке О, которая снова является особой точкой нашего дифференциального уравнения, но особой точкой совсем другого типа. Это уже не «узел», а так называемый «центр». Существуют и другие типы особых точек (см. том 2, главу V, § 6), некоторые из них изображены на рис. 21, 22. У дифференциального
уравнения = ^ нет замкнутых интегральных кривых. Напротив, дифференциальное уравнение ^ = —имеет только замкнутые интегральные кривые. Возможны интегральные кривые, спирально закручивающиеся вокруг особой точки, которая в этом случае называется фокусом.
Чрезвычайно важным в разнообразных приложениях является случай так называемого предельного цикла — замкнутой интегральной кривой, на которую спиралевидно накручиваются другие интегральные кривые. Возможны и многие другие случаи взаимного расположения интегральных кривых, а также их расположения по отношению к особым точкам. Все проблемы, касающиеся формы и расположения интегральных кривых дифференциального уравнения, а также числа, характера и взаимного расположения его особых точек, относятся к качественной теории дифференциальных уравнений. Как показывает само название, качественная теория дифференциальных уравнений оставляет в стороне непосредственное интегрирование дифференциального уравнения «в конечном •виде», равно как и методы приближенного, численного интегрирования. Основным предметом качественной теории является по существу топология поля направлений и системы интегральных кривых данного дифференциального уравнения.
