Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Александров А.Д. -> "Математика ее содержание, методы и значение Том 3" -> 82

Математика ее содержание, методы и значение Том 3 - Александров А.Д.

Александров А.Д. Математика ее содержание, методы и значение Том 3 — М.: Академия наук , 1956. — 336 c.
Скачать (прямая ссылка): matemateesoderjanieiznacheniet31956.djvu
Предыдущая << 1 .. 76 77 78 79 80 81 < 82 > 83 84 85 86 87 88 .. 145 >> Следующая


191

два определяют направление стержня AB в пространстве. Последнее направление может быть определено, например, заданием той точки В' единичной сферы с центром в начале координат О, в которой пересекает эту сферу радиус OB', параллельный стержню А В, или заданием на сфере двух географических координат точки В'. Таким образом, многообразие всех положений нашей новой шарнирной системы есть некоторое трехмерное многообразие, и читатель легко поймет, что его можно трактовать как топологическое произведение окружности и сферы. Это многообразие замкнуто, т. е. оно не имеет краев, поэтому его невозможно реализовать в виде фигуры, лежащей в трехмерном пространстве. Для того чтобы тем не менее представить себе это многообразие і сколько-нибудь наглядно, рассмотрим часть простран-ства, заключенную между / N.

двумя концентрическими сфе- ( У> \

рами. Каждый луч, идущий ( ----)

из общего центра этих сфер, \ J J прокалывает их в двух точ- \/ / ках. Если считать каждую

пару таких точек отождест- Рис. 16.

вленной (склеенной в одну точку), то мы и получим трехмерное многообразие, являющееся топологическим произведением сферы на окружность.

Мы можем подвергнуть наш шарнирный прибор еще дальнейшему усложнению, не только скрепив шаровым шарниром стержни OA и AB в точке А, но предположив, кроме того, что и стержень OA может свободно вращаться в пространстве вокруг точки О. Множество возможных положений полученной системы будет уже четырехмерным замкнутым многообразием, а именно — произведением двух сфер.

Мы видим, таким образом, что уже простейшие механические рассмотрения (кинематические) приводят к топологическим многообразиям и притом трех и более измерений. При реальном, более подробном рассмотрении механических проблем еще большее значение имеют многообразия (вообще говоря, также многомерные), являющиеся так называемыми фазовыми пространствами динамических систем, где принимаются в расчет не только конфигурации, которые может иметь данная механическая система, но и скорости, с которыми движутся различные составляющие ее точки. Ограничимся одним из простейших примеров. Пусть мы имеем точку, способную двигаться по окружности с произвольной скоростью. Каждое состояние этой системы определяется двумя данными: положением точки на окружности и скоростью ее в данный момент. Многообразием состояний (фазовым пространством) данной механической системы является, очевидно, бесконечный цилиндр (произведение окружности на прямую).

Число измерений фазового пространства растет вместе с ростом числа степеней свободы данной системы. Многие динамические характеристики 192

Глава XVIl 1. Топология

той или иной механической системы находят свое выражение в топологических свойствах ее фазового пространства. Так, например, каждому периодическому движению данной системы соответствует замкнутая линия в ее фазовом пространстве.

Изучение фазовых пространств динамических систем, поставленное на очередь различными проблемами механики, физики и астрономии (небесная механика, космогония), привлекло внимание математиков к топологии многомерных многообразий. Именно в связи с этими проблемами великий французский математик Пуанкаре предпринял в девяностых годах прошлого века систематическое построение топологии многообразий, применив при этом так называемый комбинаторный метод, являющийся с тех пор одним из основных методов топологии.

§ 4. КОМБИНАТОРНЫЙ МЕТОД

Исторически первой теоремой, относящейся к топологии, является теорема или' формула Эйлера (повидимому, известная еще Декарту). Она заключается в следующем. Возьмем поверхность произвольного выпуклого многогранника. Обозначим через а0 число ее вершин, через я, число ребер и через а2 число граней; тогда имеет место следующее соотношение, которое и известно под названием формулы Эйлера:

<*о — «1 + а2 =2- . (1)

Эта геометрическая теорема именно потому относится к топологии, что наша формула, очевидно, останется верной, если мы подвергнем рассматриваемый выпуклый многогранник произвольному топологическому преобразованию. При таком преобразовании ребра, вообще говоря, перестанут быть прямолинейными, грани — плоскими, поверхность многогранника перейдет в кривую поверхность, но соотношение (1) между ЧИСЛ01І вершин и числами теперь уже кривых ребер и граней останется в силе. Наиболее важен случай, когда все грани треугольные и мы имеем так называемую триангуляцию (разбиение нашей поверхности на треугольники — прямолинейные или криволинейные). К этому случаю легко приводится общий случай любых многоугольных граней: достаточно разбить эти грани на треугольники (например, проведением диагоналей из какой-либо вершины данной грани). Таким образом, мы можем ограничиться именно случаем триангуляций. Комбинаторный метод в топологии поверхностей и заключается в том, что изучение этой поверхности заменяется изучением ее триангуляций, причем нас интересуют, конечно, только те свойства триангуляций, которые не зависят от случайного выбора той или иной триангуляции, а, будучи общими для всех триангу' ляций данной поверхности, выражают некоторое свойство самой поверхности.
Предыдущая << 1 .. 76 77 78 79 80 81 < 82 > 83 84 85 86 87 88 .. 145 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed