Математика ее содержание, методы и значение Том 3 - Александров А.Д.
Скачать (прямая ссылка):
Рис. 11.
чится поверхность, изображенная на рис. 11, она и называется лентой или листом Мёбиуса. Нетрудно проверить, что на ней нет двух сторон, которые можно было бы выкрасить в разные цвета: идя по средней линии поверхности и начав свое движение, скажем, в точке Е, мы, обойдя всю поверхность, придем в точку Е, но уже с другой стороны поверхности, хотя и не перейдем при этом через ее край. Кстати, край поверхности Мёбиуса состоит из одной единственной замкнутой линии.
Возникает вопрос, существуют ли замкнутые односторонние поверхности, т. е. односторонние поверхности, не имеющие краев. Оказывается, что'существуют, но такие поверхности, как бы мы их ни располагали в трех- § 2. Поверхности
187
мерном пространстве, всегда имеют самопересечеппя. Типичный пример замкнутой односторонней поверхности изображен на рис. 12 — это так называемый «односторонний тор» или поверхность Клейна. Если, не боясь самопересечений, мыслить себе два экземпляра листа Мёбиуса склеенными по их краям (край листа Мёбиуса, как уже упоминалось, состоит лишь из одного контура), то получится поверхность Клейна.
Теперь мы можем сформулировать основную теорему топологии поверхностей в применении к двусторонним поверхностям: всякая замкнутая двусторонняя поверхность гомеоморфна некоторой нормальной поверхности рода р, т. е. «сфере с р ручками»; две замкнутые двусторонние
Рис. 12.
поверхности гомеоморфны тогда и только тогда, когда у них один и тот же род р (тот же порядок связности 2р), т. е. когда они гомеоморфны сфере с одним и тем же числом ручек р.
Для односторонних поверхностей также имеются «нормальные формы», аналогичные нормальным формам двусторонних поверхностей рода р, но их труднее себе представить. Для этого надо взять сферу, проделать в ней р круглых отверстий и заклеить каждое из них поверхностью Мёбиуса, склеив край этой поверхности с краем соответствующего отверстия. Трудность, возникающая при попытке представить себе такое склеивание, происходит от того, что осуществить его физически нельзя: при попытке такого склеивания возникнут как раз те самопересечения поверхности, которые неизбежны при всяком осуществлении односторонней замкнутой поверхности в виде пространственной модели.
Не следует думать, что замкнутые односторонние поверхности относятся к области математических курьезов, не связанных с серьезными задачами науки. Чтобы убедиться в ошибочности такого мнения, достаточно вспомнить, что одним из основных достижений геометрической мысли явилось создание так называемой проективной геометрии, элементы которой входят в настоящее время в курсы геометрии университетов и педагогических институтов. Практические истоки проективной геометрии лежат в теории перспективы, возникшей еще 188
Глава XVIl 1. Топология
в эпоху Возрождения (Леонардо да Винчи) в связи с потребностями архитектуры, живописи и технического проектирования. К XVI—XVII вв, относится открытие первых теорем проективной геометрии. Возникнув, таким образом, в связи с вполне определенными практическими потребностями, проективная геометрия явилась в своем полном развитии одним из значительнейших идейно-теоретических обобщений геометрии. На ее почве, в частности, впервые была до конца понята неэвклидова геометрия Лобачевского
Переход от обычной плоскости, как ее изучает элементарная геометрия, к проективной плоскости заключается в пополнении плоскости новыми абстрактными элементами, так называемыми несобственными или «бесконечно удаленными» точками. Только после такого пополнения операция проектирования одной плоскости на другую (например, проектирования на экран посредством проекционного фонаря) становится взаимно однозначным преобразованием одной плоскости в другую. Пополнение плоскости несобственными точками, которому в аналитической геометрии соответствует переход от обыкновенных декартовых координат к однородным координатам, происходит следующим образом. Каждая прямая дополняется одной единственной несобственной («бесконечно удаленной») точкой, причем две прямые тогда и только тогда имеют одну и ту же несобственную точку, когда они параллельны. Пополненная единственной бесконечно удаленной точкой прямая становится замкнутой линией, а совокупность бесконечно удаленных точек всевозможных прямых по определению образует несобственную или бесконечно удаленную прямую.
Так как параллельные прямые имеют общую бесконечно удаленную точку, то для того, чтобы представить себе весь процесс пополнения плоскости несобственными точками, достаточно рассмотреть прямые, проходящие через одну какую-нибудь точку плоскости, например через начало координат О (рис. 13). Несобственные точки этих прямых уже исчерпакл все вообще несобственные точки проективной плоскости (так как каждаї прямая имеет ту же несобственную точку, что и параллельная ей прямая, проходящая через точку О). Поэтому мы получим «модель» проективній плоскости, рассматривая ее как круг «бесконечно большого» радиуя с центром в О и считая, что любая пара диаметрально противоположив точек А, А' окружности этого круга должна быть склеена в одну «беско
