Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Александров А.Д. -> "Математика ее содержание, методы и значение Том 3" -> 81

Математика ее содержание, методы и значение Том 3 - Александров А.Д.

Александров А.Д. Математика ее содержание, методы и значение Том 3 — М.: Академия наук , 1956. — 336 c.
Скачать (прямая ссылка): matemateesoderjanieiznacheniet31956.djvu
Предыдущая << 1 .. 75 76 77 78 79 80 < 81 > 82 83 84 85 86 87 .. 145 >> Следующая


Рис. 13.

1 См., например, главу XVII, § 6, или книжку П. С. Александрова «Что таи» неэвклидова геометрия» (М., 1951). § 3. Многообразия

189

нечно удаленную» точку прямой AA'. Сама окружность нашего круга превращается при этом в бесконечно удаленную прямую, но при этом надо твердо помнить, что любые две диаметрально противоположные точки этой окружности должны мыслиться как отождествленные между собой. Отсюда сразу видно, что проективная плоскость есть замкнутая поверхность, никаких краев у нее нет.

Если мы рассмотрим на проективной плоскости кривую второго порядка, которую рисуем в виде гиперболы (см. рис. 13), то ясно, что эта гипербола на проективной плоскости представляет собой замкнутую кривую (лишь разрезанную на две ветви бесконечно удаленной прямой). Имея в виду, что диаметрально противоположные точки окружности нашего основного круга склеены между собой, мы без труда убеждаемся, что заштрихованная на рис. 13 внутренность нашей гиперболы гомеоморфна внутренности обыкновенного круга, а дополнительная, незаштрихован-ная часть проективной плоскости гомеоморфна ленте Мёбиуса. Таким образом, проективная плоскость с топологической точки зрения есть результат склеивания круга (в нашем случае — внутренности гиперболы) с листом Мёбиуса по их краю. Отсюда следует, что проективная плоскость, т. е. основной объект изучения плоской проективной геометрии, есть замкнутая односторонняя поверхность.

Пример проективной плоскости, кроме своего большого ііринци-пиально геометрического значения, интересен еще и потому, что на нем рельефно выделяется одна особенность современного геометрического мышления, сформировавшегося на основе открытий Лобачевского. Геометрическое мышление всегда, по самому характеру понятия геометрической фигуры, было абстрактпым. Теперь оно поднимается на новую ступень абстракции, проявляющуюся в нашем случае в пополнении обычной плоскости новыми абстрактными элементами — несобственными точками. Конечно, и эти абстрактные элементы отражают реальную действительность (каждая «песобственпая точка» есть не что иное, как абстракция пучка параллельных прямых), но входят они в наши рассмотрения как отвлеченные геометрические элементы, которые мы лишь несовершенно можем себе представить в виде результата (физически не осуществимого) «склеивания» диаметрально противоположных точек окружности некоторого круга. Аналогичные абстрактные построения имеют очень большое значение во всей современной топологии, особенно при переходе от поверхностей к многообразиям трех и более измерений.

§ 3. МНОГООБРАЗИЯ

Рассмотрим следующий простой прибор, иногда называемый двойным плоским маятником (рис. 14). Он состоит из двух стержней OA и AB, скрепленных шарниром в точке А; точка О остается неподвижной, стержень OA свободно вращается в постоянной плоскости вокруг точки О, а стержень AB свободно вращается в той же плоскости вокруг точки А. 190

Каждое из возможных положений нашей с-истемы вполне определяется, если задать угол <р и угол ф, которые образуют стержни OA и AB с каким-нибудь постоянным направлением в плоскости, например с положительным направлением оси абсцисс. Эти два угла, изменяющиеся от 0 до мы можем рассматривать как «географические координаты» точки на торе, отсчитываемые соответственно от «экватора» тора и одного из его «меридианов» (рис. 15).

Таким образом, мы можем сказать, что многообразие всех возможных состояний нашей механической системы есть многообразие двух измерений, а именно — тор. Заменяя каждый и» углов у, ф соответствующей ему точкой некоторой окружности, на которой дана начальная точка и направление отсчета дуг (рис. 16), мы можем также сказать, что каждое

Рис. 14.

Рис. 15.

возможное состояние нашей механической системы будет вполне охарактеризовано, если будет задано по точке на каждой из двух окружностей (на одной из них отсчитывается широта у, а на другой — долгота ф). Другими словами, совершенно так же, как в аналитической геометрии, мы отождествляем точку плоскости с парой чисел — ее координат, так и в нашем случае мы можем отождествить точку тора (а значит и любое положение нашего маятника) с парой ее географических координат, т. е. с парой точек, из которых одна лежит на одной, а другая на другой окружности. Это положение вещей характеризуют, говоря, что многообразие всех возможных состояний нашего двойного плоского маятника, т. е. тор, есть топологическое произведение двух окружностей.

Видоизменим теперь наш прибор следующим образом. Пусть он по-прежнему состоит из двух стержней OA и AB, причем стержень OA может свободно вращаться в определенной плоскости вокруг точки О, тогда как стержень AB теперь скреплен со стержнем OA шаровым шарниром в точке А, так что при данном положении этой точки он может свободно вращаться вокруг нее уже в пространстве, принимая направление любого исходящего из точки А луча. Теперь положение нашей системы задается тремя параметрами, из которых первый есть попрежнему угол <р, образуемый стержнем OA с положительным направлением оси абсцисс, а вторые § 3. Многообразия
Предыдущая << 1 .. 75 76 77 78 79 80 < 81 > 82 83 84 85 86 87 .. 145 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed