Математика ее содержание, методы и значение Том 3 - Александров А.Д.
Скачать (прямая ссылка):
либо ее точке). Окружность есть простая замкнутая линия — она образует лишь одну петлю в отличие от восьмерки, которая образует две петли, или от трехлепестковой кривой (рис. 5), которая образует три петли. Свойство окружности быть простой замкнутой линией является свойством, сохраняющимся при произвольном ее топологическом преобразовании, или, как говорят, топологическим свойством.
Если мы возьмем шаровую поверхность, которую можно представлять себе в виде тонкого резинового мячика, то мы снова посредством топологического преобразования можем чрезвычайно изменить ее форму (рис. 6). Но мы не сможем посредством топологического преобразования превратить нашу сферическую поверхность в квадрат или в кольцевидную поверхность (поверхность баранки или спасательного круга), называемую тором (рис. 7). В самом деле, поверхность сферы обладает следующими двумя свойствами, каждое из которых сохраняется при любом топологическом преобразовании. Первое свойство заключается в замкнутости нашей поверхности: у нее нет краев (а у квадрата есть край); второе свойство заключается в том, что всякая замкнутая линия на сферической
Рис. 4.
Рис. 5. .18 4
Глава XVIII. Топология
поверхности является, по выражению Лобачевского, ее сечением; если по данной замкнутой линии, начерченной на нашем резиновом мячике, сделать разрез, то поверхность распадется на две не связанные между со-
Рис. 6.
бой части. Тор этим свойством не обладает: если разрезать тор по его меридиану (рис. 7), то он не распадется на части, а превратится в поверхность, имеющую вид согнутой трубки (рис. 8), которую потом уже легко превратить топологическим преобразованием в цилиндр (разогнуть).
Рис. 7.
Итак, в отличие от сферы, на торе не всякая замкнутая линия является сечени?м. Поэтому сферическую поверхность нельзя топологическим преобразованием превратить в тор. Говорят, что сфера и тор суть топологически
Рис. 8.
различные поверхности или поверхности, принадлежащие к различным топологическим типам, или, наконец, что эти поверхности не гомеоморфнн между собой. Наоборот, сфера и эллипсоид и вообще любые ограниченные выпуклые поверхности принадлежат к одному и тому же топологическому типу, т. е. гомеоморфны между собой. Это значит, что они могут быть переведены одна в другую топологическим преобразованием, § 2. Поверхности
185
§ 2. ПОВЕРХНОСТИ
Как уже упоминалось выше, всякое свойство геометрической фигуры, сохраняющееся при любом ее топологическом преобразовании, называется топологическим свойством. Топология изучает топологические свойства фигур; кроме того, она изучает топологические, а также любые непрерывные преобразования геометрических фигур.
Мы только что привели некоторые примеры топологических свойств. Так, топологическими свойствами являются: свойство замкнутости кривой или поверхности, свойство замкнутой линии быть простой замкнутой линией (т. е. образовывать лишь одну петлю), свойство замкнутой поверхности, состоящее в том, что всякая лежащая на ней замкнутая линия
Рис. 9.
является сечением поверхности (этим свойством шаровая поверхность обладает, а кольцевидная нет), и др.
Наибольшее число замкнутых линий, которые можно провести на данной поверхности таким образом, чтобы эти линии не образовывали сечения, т. е. чтобы поверхность не распадалась на части, если по всем этим линиям сделать разрезы, называется порядком связности поверхности. Это число, пожалуй, дает нам самую важную информацию о топологическом устройстве поверхности. Мы видели, что для сферической поверхности оно равно нулю (всякая замкнутая линия на такой поверхности является сечением). На торе можно найти две замкнутые линии, которые в своей совокупности не образуют сечения: за одну из них можно принять любой меридиан, а за другую — параллель тора (рис. 7). Однако на торе невозможно провести три замкнутые линии, которые в своей совокупности не образовывали бы сечения; порядок связности тора равен двум. Порядок связности поверхности кренделя" (рис. 9) равен четырем и т. д. Вообще возьмем сферическую поверхность и сделаем в ней 2 р круглых отверстия (на рис. 10 изображен случай р = 3). Эти отверстия распределим в р пар и к каждой паре отверстий приклеим (по краям) цилиндрическую трубку («ручку»). Получим сферу с р «ручками» или, как говорят, нормальную поверхность рода р. Порядок связности этой поверхности равен 2 р.
. Все такие поверхности, по выражению Лобачевского, являются «сечениями» пространства: каждая из них разбивает пространство на две 186
Глава XVIl 1. Топология
области, внутреннюю и внешнюю, и является совместной границей этих двух областей. Это обстоятельство стоит в связи с другим, а именно с тем, что каждая из наших поверхностей имеет две стороны: внешнюю и внутреннюю (одну сторону можно покрасить в один цвет, а другую — в другой).
Рис. 10.
Однако наряду с этим существуют и так называемые односторонние поверхности, у которых нет этих двух раздельных сторон. Простейшей из них является всем известная «лента Мёбиуса», получающаяся, если взять прямоугольную полоску бумаги ABCD и склеить две противоположные узкие стороны AB и CD прямоугольника ABCD так, чтобы вершина А совпала с вершиной С, а вершина В с вершиной D. Полу-
