Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Александров А.Д. -> "Математика ее содержание, методы и значение Том 3" -> 74

Математика ее содержание, методы и значение Том 3 - Александров А.Д.

Александров А.Д. Математика ее содержание, методы и значение Том 3 — М.: Академия наук , 1956. — 336 c.
Скачать (прямая ссылка): matemateesoderjanieiznacheniet31956.djvu
Предыдущая << 1 .. 68 69 70 71 72 73 < 74 > 75 76 77 78 79 80 .. 145 >> Следующая


Итак, пространство есть форма существования материи; «свойства пространства» — это, следовательно, свойства материи, свойства известных отношений материальных тел, их взаимного расположения, размеров и т. п,

Далее, для того чтобы теоремы геометрии имели физический смысл нужно знать, что в них следует понимать под «прямой», «расстоянием) и другими геометрическими понятиями. В § 4 мы видели, что одна и та ж( геометрическая теория допускает разные толкования.

Следовательно, сравнивая геометрию с опытом, нужно по возмож ности точно определять физический смысл геометрических П0І1ЯТИЙ, по скольку геометрия описывает свойства реального пространства лшш при том условии, что ее понятиям приписывается соответствующий физи ческий смысл. Без этого физического смысла теоремы геометрии имєю1 абстрактно математический, формальный характер. В этом и состой' решение указанного выше второго затруднения. Это затруднение возни кает потому, что, вместо реального пространства, неразрывно связанной с материей, хотят мыслить «чистое» пространство, пространство «кш таковое», которое есть, однако, не более как абстракция.

3. Теперь легко будет понять, как решаются два других затруднения

Как, во-первых, можно представить себе, что реальное пространств! по своим свойствам отлично от эвклидова? Пусть мы хотим проверит] § 10. Абстрактная геометрия и реальное пространство

173

какое-либо утверждение эвклидовой геометрии, например, то, что сумма углов треугольника равна 180°, или то, что длина окружности равна 2kR. Для проверки первого нужно определить, какие физически определенные треугольники будут рассматриваться и как будут определяться их углы. Пусть сторона треугольника — это луч света в пустоте. В таком случае нет ничего невероятного в том, что очень точные опыты покажут отличие суммы углов треугольника от 180°. Точно так же можно мыслить, что измерение радиуса и окружности одним и тем же масштабом приведет к результатам, не удовлетворяющим в точности соотношению 1=2t:R. Кстати, так это и есть на земной поверхности, где длина окружности не пропорциональна радиусу, а растет медленнее и достигает максимума, когда радиус делается равным половине меридиана. На это можно возразить, что ведь на земной поверхности роль прямых играют дуги больших кругов, так что радиус понимается здесь в другом смысле, и потому наш результат не противоречит эвклидовой геометрии. Однако, согласно теории относительности, вблизи тел большой массы отношение длины окружности к «настоящему» радиусу все-таки несколько отличается от 2-, а именно верна следующая приближенная формула для отношения длины экватора однородного шарообразного тела к его радиусу:

где M — масса тела (в т), R — радиус тела (в км), с=300 ООО км/сек — скорость света, к — постоянная тяготения, равная при указанном выборе единиц измерения 66,6 • IO-18.

Таким образом, мы видим, что отношение длины окружности к радиусу не равно 2тг, а несколько меньше. Как показывает вычисление, на поверхности Солнца это отношение отличается от 2iz приблизительно на 0,000 004, а на поверхности спутника Сириуса, средняя плотность которого в 50 000 раз больше плотности воды, отклонение достигает уже

Можно, конечно, возразить, что все это тем не менее нельзя себе представить, что в наглядном представлении пространство всегда будет эвклидовым. Такое возражение не должно нас смущать, во-первых, потому, что задача науки состоит не в том, чтобы дать наглядное представление явлений, но в том, чтобы достигнуть их понимания. Наглядное представление ограничено и вращается в кругу привычных образов, доставляемых нашими органами чувств. Поэтому мы не в состоянии наглядно представить ни ультрафиолетовых лучей, ни распространения радиоволн, ни движения электрона в атоме, ни многого другого, иначе как подставляя на место этих явлений какие-нибудь модели. Но это вовсе не значит, что эти явления нам непонятны. Напротив, успехи радиотехники, например, ясно показывают, что мы вполне овладели радиовол-

0,00014. 174

1 лава XVII. Абстрактные пространства

нами и, следовательно, понимаем их достаточно хорошо. Во-вторых, решение вопроса о том, что можно себе представить, а чего нельзя, зависит от привычки и тренировки воображения. Можно ли представить себе антиподов, которые по отношению к нам ходят вниз головой? Теперь мы можем себе это представить, а в свое время «невообразимость» антиподов служила аргументом против шарообразности Земли.

4. Теперь обратимся к последней трудности, т. е. к вопросу о том, какую геометрию следует считать истинной. При самой постановке этого вопроса было указано, что геометрические факты внутри круга можно излагать как теоремы и геометрии Эвклида и геометрии Лобачевского. Следовательно, обе эти геометрии отвечают действительности, т. е. обе они истинны. И в этом нет, в конце концов, ничего удивительного. Одно и то же явление всегда можно описывать разными способами; одву и ту же величину можно измерять разными единицами; одну и ту же кривую можно задавать разными уравнениями в зависимости от выбора системы координат. Совершенно так же данную выделенную совокупность геометрических соотношений (как в рассматриваемом примере соотношения внутри круга) можно описывать разными способами. Но мы ставим вопрос не о какой-то изолированной совокупности геометрических фактов, а о пространственных отношениях во всей их общности. Пространство есть универсальная форма существования материи, и, стало быть, при постановке вопроса о свойствах пространства никакая область фактов не может быть искусственно выделена.
Предыдущая << 1 .. 68 69 70 71 72 73 < 74 > 75 76 77 78 79 80 .. 145 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed