Математика ее содержание, методы и значение Том 3 - Александров А.Д.
Скачать (прямая ссылка):
1 Коэффициенты ак будем считать целыми числами. § 4. Комбинаторный метод
198
ветствуют замкнутым путям (именно о таком пути была только что речь в связи с рис. 19).
Для чисто алгебраического определения цикла условимся из двух вершин направленного отрезка AB считать конечную вершину В входящей в границу отрезка AB со знаком плюс (с коэффициентом -(-1), а начальную вершину А — со знаком минус (с коэффициентом —1). Тогда границу отрезка AB можно записать в виде Д (AB) = B — А.
Приняв такое соглашение, мы непосредственно замечаем, что
сумма границ отрезков AB, ВС, CD.....FA, образующих замкнутый
(в обычном смысле слова) путь, равна нулю. Это делает естественным общее определение одномерного цикла, как такой одномерной цепи
Z1 =2 аіс11> сумма границ
к
звеньев которой, т. е. сумма Равна нулю.
Легко к проверить, что сумма двух циклов есть цикл. Умножая цикл как алгебраическое выражение на какое-либо целое число, получим опять цикл. Это Рис. 19.
позволяет говорить о линейных комбинациях циклов z], z\, . . . , Zig, т. е. о циклах вида
я
Z = 2 czj, где Cv — целые числа.
V=I
Аналогично понятию одномерной цепи данной триангуляции можно говорить и о двумерных цепях этой триангуляции, т. е. о выражениях вида = где — ориентированные треугольники данной і
триангуляции. Так как граница каждого ориентированного треугольника есть одномерный ЦИКЛ, TO ЦИКЛОМ является И цепь Именно
¦
этот цикл считается границей Дж2 цепи ж2 = ^®^?-
і
Понятие границы цепи позволяет далее сформулировать понятие гомологии: одномерный цикл Z1 данной триангуляции называется гомологичным нулю в этой триангуляции, если он является границей некоторой двумерной цепи этой триангуляции. Во всякой триангуляции замкнутой выпуклой поверхности и вообще любой поверхности, гомео-морфной сфере, всякий одномерный цикл гомологичен нулю; геометрически это совершенно ясно: каждый замкнутый многоугольник на' выпуклой поверхности является границей некоторого куска этой поверхности. Не то на торе: меридиан тора, так же как и его экватор, не является границей какого-либо куска этой поверхности. Если взять какую-либо триангуляцию тора,то в ней найдутся циклы, аналогичные 198
Глава XVIl 1. Топология
меридиану и экватору тора, и эти циклы не будут гомологичны нулю.
Совершенно новое явление мы наблюдаем на построенной выше триангуляции проективной плоскости. Если рассматривать прямую, например прямую AB (см. рис. 18), как цикл этой триангуляции, то этот цикл не гомологичен на ней нулю. Однако та же прямая, взятая с коэффициентом 2, уже оказывается гомологичной нулю. Таким образом, привлечение коэффициентов, отличных от +1, при определении цепи, которое кажется сначала формальным и ненужным, позволяет уловить важные геометрические свойства поверхностей и вообще многообразий. В данном случае это так называемое свойство кручения, заключающееся в существовании циклов, которые в данном многообразии не гомологичны нулю (не ограничивают никакого куска поверхности), но становятся гомологичными нулю, если снаб-Q дить их некоторым целочисленным коэффициентом.
В связи со сказанным введем, наконец, чрезвычайно важное понятие гомологической независимости циклов. Циклы zv ...,Za называются гомологически независимыми в данной триангуляции, если никакая их линейная комбинация ^ с<г<> в которой хотя бы один коэффициент ci отличен от нуля, не гомологична нулю в этой триангуляции. Примерами гомологически независимых циклов на торе могут служить какой-либо меридиан и экватор тора, рассматриваемые как циклы некоторой триангуляции тора.
Основные понятия всей комбинаторной топологии — понятия границы, цикла, гомологии — определены нами для одномерных образований, но они дословно переносятся и на любое число измерений. Так, например, двумерная цепь z2 = ^a.t2 называется циклом, если ее граница Az2 = ^aiAt2 равна нулю. Трехмерная цень есть выражение вида
л;3 = 2аА*».» где tI — ориентированные трехмерные симплексы (тетраэдры).
Как и в случае треугольника, ориентация трехмерного симплекса (тетраэдра) задается определенным порядком его вершин, причем два порядка вершин, переходящие друг в друга при четной перестановке, определяют одну и ту же ориентацию. Граница трехмерного ориентированного симплекса t3 = (ABCD) есть двумерная цепь (цикл) MS = (BCD) — (ACD) + (ABD) —(ABC) (рис. 20). Граница трехмерной цепи определяется как сумма границ ее симплексов, взятых с теми коэффициентами, с которыми эти симплексы входят в данную цепь. Читатель легко проверит, что граница любой трехмерной цепи есть § 4. Комбинаторный метод
198
двумерный цикл (это достаточно доказать для границы одного трехмерного симплекса). Мы говорим, что двумерный цикл гомологичен нулю в данном многообразии, если он является границей некоторой трехмерной цепи этого многообразия. И так далее. Заметим, что из данного выше определения ориентируемых и неориентируемых триан-гуляций1 сразу следует, что во всякой ориентируемой триангуляции имеются (в случае поверхностей — двумерные) циклы, отличные от нуля, а в неориентируемых триангуляциях таких циклов нет; этот результат также непосредственно обобщается на любое число измерений.
