Математика ее содержание, методы и значение Том 3 - Александров А.Д.
Скачать (прямая ссылка):
Формула Эйлера приводит нас к одному из таких свойств, и'мы им сейчас займемся несколько подробнее. Левая часть формулы Эйлера, т. е. § 4. Комбинаторный метод
198
выражение а0—Z1H-CC2, где а0 — число вершин, X1 — число ребер и а2 — число треугольников в данной триангуляции, называется эйлеровой характеристикой этой триангуляции. Теорема Эйлера утверждает, что для всех триангуляций поверхности, гомеоморфной сфере, эйлерова характеристика равна двум. Оказывается, что для всякой поверхности (а не только поверхности, гомеоморфной сфере) все триангуляции этой поверхности имеют одну и ту же эйлерову характеристику.
Легко сообразить, каково будет значение эйлеровой характеристики для различных поверхностей. Прежде всего, для цилиндрической поверхности оно равно нулю. В самом деле, удалив из какой-либо триангуляции сферы два не соприкасающиеся между собой треугольника, но сохраняя границы этих треугольников, мы, очевидно, получим триангуляцию поверхности, гомеоморфной боковой поверхности цилиндра. При этом число вершин и ребер осталось прежним, а число треугольников уменьшилось на 2, поэтому эйлерова характеристика полученной триангуляции равна нулю. Возьмем теперь поверхнэсть, полученную из триангуляции сферы посредством удаления 2р треугольников этой триангуляции, попарно не соприкасающихся (т. е. не имеющих ни общих вершин, ни общих сторон) При этом эйлерова характеристика уменьшается на 2р единиц. Легко убедиться в том, что при заклеивании каждой пары образовавшихся в поверхности сферы отверстий цилиндрической трубкой эйлерова характеристика не изменится. Это происходит оттого, что характеристика самой приклеиваемой трубки равна, как мы видели, нулю, а на краях этой трубки число вершин равно числу ребер. Итак, замкнутая двусторонняя поверхность рода р имеет эйлерову характеристику 2—2р (факт, впервые доказанный французским адмиралом де Жон-кьером).
Приведем еще одно важное свойство триангуляций, удовлетворяющее так называемому условию топологической инвариантности (т. е. принадлежащее каждой триангуляции данной поверхности, если оно принадлежит хотя бы одной из них). Это — свойство ориентируемости. Прежде чем его формулировать, заметим, что каждый треугольник можно ориентировать, т. е. снабдить его границу определенным направлением обхода. Каждая из двух возможных ориентаций треугольника задается определенным порядком следования его вершин 2. Предположим теперь, что на какой-нибудь поверхности даны два треугольника, примыкающие
1 Для того чтобы это можно было сделать, надо только, чтобы рассматриваемая триангуляция была достаточно «мелкой». Этого всегда можно достигнуть надлежащим подразделением любой триангуляции.
2 При этом легко видеть, что два порядка вершин тогда и только тогда определяют одну и ту же ориентацию (одно и то же направление обхода), когда они переходят друг в друга посредством «четной» перестановки. Так, (ABC), (BCA), (CAB) определяют одну, а (ВАС), (АСВ), (CBA) другую ориентацию треугольника. (О четных и нечетных перестановках см., например, главу XX, § 3.)
13 Зак. № 812 194
Глава XVIl 1. Топология
друг к другу по общей стороне и не имеющие других общих точек (рис. 17). Две ориентации этих|треугольников называются согласованными, если они порождают на общей стороне треугольников противоположные направления. (На плоскости или на любой другой двусторонней поверхности это означает, что оба треугольника — если смотреть на них с одной стороны поверхности — обходятся в одном направлении, т. е. либо оба против, либо оба по часовой стрелке.) Триангуляция данной замкнутой поверхности называется ориентируемой, если ориентации всех входящих в эту триангуляцию треугольников можно выбрать так, что любые два прилегающие по общей стороне треугольника окажутся ориентированными согласованно. Имеет место такой факт: всякая триангуляция
двусторонней поверхности ориентируема, всякая триангуляция односторонней поверхности неориентируема. Поэтому двусторонние поверхности называются также ориентируемыми, а односторонние — неориен-тируемыми. Взяв произвольную триангуляцию листа Мёбиуса, читатель без труда убедится в ее неориентируемости. Чтобы получить простейшую триангуляцию проективной плоскости, надо на ней провести какие-либо три прямые, не проходящие через одну точку (рис. 18). Они разобьют проективную плоскость на четыре треугольника, из которых один лежит в конечной части плоскости, а три других рассечены, каждый на две части, бесконечно удаленной прямой. На рис. 18 один из этих трех уходящих в бесконечность треугольников заштрихован. На этом же чертеже видно, что, пытаясь придать всем четырем треугольникам согласованные ориентации, мы неизбежно приходим к неудаче. В частности, при сделанном на рис. 18 выборе ориентаций наших четырех треугольников, мы в качестве алгебраической суммы их границ вместо нуля, который получился бы при согласованных ориентациях, получаем дважды взятую прямую AB.
Эйлерова характеристика и свойство ориентируемости или неориентируемости замкнутых поверхностей дают нам, как говорят, полную систему топологических инвариантов замкнутых поверхностей. Смысл § 4. Комбинаторный метод
