Математика ее содержание, методы и значение Том 3 - Александров А.Д.
Скачать (прямая ссылка):
198
этого высказывания заключается в том, что две поверхности тогда и только тогда гомеоморфны, когда триангуляции этих поверхностей, во-первых, имеют одну и ту же эйлерову характеристику и, во-вторых, обе ориентируемы или обе неориентируемы.
Комбинаторный метод применяется не только к изучению поверхностей (двумерных многообразий), но и многообразий любого числа измерений. Но, например, в случае трехмерных многообразий роль обычных триангуляций играют уже разбиения на тетраэдры. Их называют трехмерными триангуляциями или симплициальными разбиениями многообразия. Под эйлеровой характеристикой трехмерной триангуляции понимается число %0 — CL1-^-OL2— a3, где а,., і = 0, 1, 2, 3, есть число г-мерных элементов этой триангуляции (т. е. а0 — число вершин, «, — число ребер, а2 — число двумерных граней, а3 — число тетраэдров). При числе измерений п > 3 многообразие разбивают на га-мерные симплексы, т. е. простейшие выпуклые га-мерные многогранники, аналогичные треугольникам (п = 2) и тетраэдрам (п = 3). Симплексы, на которые разбито л-мерное многообразие, и их грани образуют «-мерную триангуляцию этого многообразия. Попрежнему можно говорить об
х( — число входящих в данную триангуляцию г-мерных элементов (г = 0, 1, 2,..., га), и попрежнему эйлерова характеристика имеет одно и то же значение для всех триангуляций данного п-мерного многообразия (и всех многообразий, гомеоморфных данному), т. е. является топологическим инвариантом. Но о полной системе инвариантов (в том смысле, в каком она для поверхностей дается эйлеровой характеристикой и ориентируемостью) мы даже для трехмерных многообразий при настоящем уровне наших знаний не можем и мечтать!
Значение комбинаторного метода в современной топологии очень велико. Этот метод открывает возможность применять некоторые алгебраические приемы в решении топологических задач. Возможность такого алгебраического подхода внимательный читатель мог уже усмотреть выше, когда мы говорили об алгебраической сумме границ ориентированных треугольников в триангуляции проективной плоскости. В самом деле, если треугольник ориентирован, т. е. снабжен определенным направлением обхода, то за его границу естественно принять совокупность его сторон, взятых каждая также с определенным направлением — тем, которое порождается имеющимся обходом треугольников.
Рассмотрим теперь все треугольники T*, ? = 1,2..... а2, входящие
в данную триангуляцию некоторой поверхности. Каждому из них можно придать две ориентации; треугольник 7'2, с одной из двух
п
эйлеровой характеристике, понимая под ней сумму 196
Глава XVIl 1. Топология
возможных ориентации обозначим через Zi?, а тот же треугольник с другой (противоположной) ориентацией — через t\. Точно так же каждый из одномерных элементов (ребер) Т\(к = 1, 2, ... , Z1), входящих в данную триангуляцию, можно ориентировать, т. е. снабдить его одним из двух возможных направлений. Отрезок T1k с одной из ориентаций обозначим через с другой —через t\. Тогда, если сторонами треугольника T2i являются отрезки Т\, Т\, то границей ориентированного треугольника является совокупность тех же сторон, но взятых с определенными направлениями, т. е. граница состоит из направленных отрезков S1Zj, E2Z1, S3Z1; здесь Si = If если это направление для ребра Ti1 совпадает с его собственным направлением Z1 и е< =—1 в противном случае. Границу Z2 обозначают через Дt\. Как видим, = причем эту сумму можно представлять себе распро-
страненной на все ребра нашей триангуляции, считая, что коэффициенты Sjt при отрезках, не входящих в границу треугольника Z^, равны
нулю.
Становится естественным рассматривать вообще суммы вида ^1=VafcZ1, распространенные по всем ребрам данной триангуляции1. Геометрический смысл таких сумм очень прост: ведь каждое слагаемое суммы есть некоторый отрезок, входящий в нашу триангуляцию, взятый с определенным направлением и определенным коэффициентом (определенной «кратностью»). Вся же написанная алгебраическая сумма выражает составленный из отрезков путь, в котором каждый отрезок считается столько раз, сколько указывает стоящий при нем коэффициент. Например, если мы сначала проходим многоугольник ABCDEF (рис. 19) в показанном стрелкой направлении, потом переходим по отрезку AA' на многоугольник A'B'C'D'E'F', проходимый в указанном на нем направлении, затем возвращаемся по отрезку А'А назад и проходим многоугольник ABCDEF снова в том же, что и раньше, направлении, то получаем сумму, в которую отрезки AB, ВС, CD, DE, EF, FA войдут с коэффициентом 2, отрезки A B', В С', CD', D'E', EF', F'А' — с коэффициентом 1, а отрезок AA' вовсе не войдет (он будет иметь коэффициент нуль, так как он оказывается пройденным два раза в двух противоположных направлениях).
Суммы вида ж1 —2 afc ^fc называются одномерными цепями* данной триангуляции. С алгебраической точки зрения они представляют собой линейные формы (однородные многочлзны первой степени); их можно складывать и вычитать, а так ке умножать на любое целое число по обычным правилам алгебры. Среди одномерных цепей особенно важными являются так называемые одномерные циклы. Геометрически они соот-
