Математика ее содержание, методы и значение Том 3 - Александров А.Д.
Скачать (прямая ссылка):
Качественный подход к дифференциальным уравнениям, включающий такие вопросы, как существование замкнутых интегральных кривых, в частности все вопросы, связанные с существованием, числом и возникновением предельных циклов, продиктован в первую очередь проблемами механики, физики и техники. Впервые эти вопросы возникли в связи с исследованиями Пуанкаре по небесной механике и космогонии, которые, как уже упоминалось, и явились поводом для топологических изысканий французского геометра. В нашей стране топологическая проблематика теории дифференциальных уравнений заняла одно из центральных мест в проведенных советскими учеными выдающихся исследованиях, которые относятся к теории колебаний и радиотехнике — я имею в виду школу JI. И. Мандельштама и выросшую из нее школу А. А. Андронова, ставшую одним из основных центров разработки качественной, в значительной степени топологической теории дифференциальных уравнений. Другим центром разработки качественной теории дифференциальных уравнений в значительной мере топологическими методами является школа В. В. Степанова и В. В. Немыцкого в Московском университете. В работах ленинградских, свердловских и казанских математиков по вопросам 202
Глава XVIl 1. Топология
качественной теории дифференциальных уравнений также все возрастающую роль играют топологические методы.
Теория дифференциальных уравнений приводит к изучению векторных полей не только на плоскости, но и в многомерных многообразиях; уже простейшие системы многих дифференциальных уравнений интерпретируются геометрически как поля направлений в многомерных эвклидовых пространствах. Привлечение так называемых первых интегралов уравнения означает выделение среди совокупности всех интегральных кривых тех, которые лежат на некотором многообразии, определяемом данными первыми интегралами. Всякая динамическая система (в классическом смысле этого слова) приводит, вообще говоря, к многомерному многообразию ее возможных состояний (см. § 3) и к системе дифференциальных уравнений, интегральные кривые которой, заполняя данное фазовое пространство, представляют собой возможные движения данной системы. Каждое отдельное из этих движений определяется теми или иными начальными условиями. Следовательно, основным объектом изу-^ чения и в этом случае является поле направлений и система траекторий яа данном многообразии. Многочисленные приложения, появившиеся особенно в последние годы, делают понятным развитие качественной теории дифференциальных уравнений в ее самом широком аспекте, а следовательно, и развитие топологии как основы этой теории. Именно этой механической и физической, а также астрономической тематике и обязана современная топология своим быстрым ростом, составляющим значительную часть общего развития математики в течение истекшего полустолетия. Читателю, желающему ознакомиться с топологической проблематикой в теории дифференциальных уравнений в ее конкретном физическом и техническом аспекте, можно порекомендовать известную книгу А. А. Андронова и С. Э. Хайкина «Теория колебаний».
В качестве примера конкретной задачи, решенной в теории векторных полей на многомерных многообразиях, рассмотрим вопрос об алгебраическом числе особых точек такого векторного поля.
Пусть нам дано какое-нибудь гладкое многообразие. Для простоты будем представлять себе гладкую замкнутую поверхность. Предположим, что в каждой точке этого многообразия задан касательный к нему вектор, и по длине и по направлению непрерывно зависящий от точки. Особые точки такого векторного поля суть те точки многообразия, в которых отнесенный к ним вектор равен нулю, т. е. не имеет определенного направления. Мы предположим, что каждая из этих точек изолированная. В случае замкнутого многообразия это означает, что имеется лишь конечное число особых точек. (Иначе часть этих точек сгущалась бы около некоторой предельной точки, которая по непрерывности поля также была бы особой точкой, не будучи изолированной.)
Для изолированной особой точки можно определить ее индекс — понятие, в известном смысле аналогичное понятию кратности корня алгеб- § 5. Векторные поля
203
раического уравнения. Для определения индекса окружаем данную особую точку какой-либо «изолирующей ее» замкнутой линией С (на плоскости — просто окружностью), т. е. такой линией, которая сама не проходит ни через одну особую точку, а внутри содержит лишь одну, рассматриваемую нами, особую точку. Во всех точках кривой С направление поля однозначно определено. Для простоты будем считать, что включающая кривую С окрестность нашей особой точки плоская (в общем случае можно отобразить на плоскость интересующую нас окрестность вместе с заданным на ней полем). При обходе кривой в положительном направлении угол, который направление поля образует с каким-либо фиксированным направлением, возвращается к своему начальному значению, возрастая по дороге на некоторое слагаемое вида 2къ, где к — какое-то
целое, вполне определенное число. Это число и называется индексом особой точки, а также вращением поля вдоль кривой С. Заметим, что оно не зависит от специального выбора замкнутой линии, изолирующей данную особую точку. На рис. 21, 22 изображены особые точки соответственно с индексами +3 и —2. Аналогичным, но более сложным образом определяется индекс и для особой точки поля векторов (направлений), определенного на л-мерном многообразии при гС>2. Оказывается, что имеет место следующая замечательная теорема, доказанная немецким математиком Хопфом в 1926 г.: если на данном многообразии определено непрерывное векторное поле, имеющее лишь конечное число особых точек, то сумма индексов, или, как говорят, алгебраическое число этих особых точек, не зависит от поля и всегда равна эйлеровой характеристике многообразия.
