Математика ее содержание, методы и значение Том 3 - Александров А.Д.
Скачать (прямая ссылка):
При дальнейшем развитии этой проблематики оказалось, что одной топологии поверхностей недостаточно, что необходимо решение и определенных задач n-мерной топологии. Первой из них была задача о топологической инвариантности числа измерений пространства. Задача эта заключается в том, чтобы доказать невозможность топологически отобразить n-мерное эвклидово пространство на m-мерное при пфт. Эта
* См. по этому поводу книгу А. И. Маркушевича «Теория аналитических функций». Гостехиздат, 1950. 206
Глава XVIl 1. Топология
трудная задача была решена в 1911 г. Брауэром1. В связи с ее решением были открыты новые топологические методы, которые привели к быстрому построению начал теории непрерывных отображений многомерных многообразий и теории векторных полей на них. Во всех этих исследованиях оказались необходимыми и первые основные понятия так называемой теоретико-множественной топологии, возникшей на почве общей теории множеств, построенной Кантором в последней четверти прошлого века.
В теоретико-множественной топологии сам объект исследования, т. е. класс рассматриваемых геометрических фигур, чрезвычайно расширился и охватил если не все вообще множества, лежащие в эвклидовых пространствах, то по крайней мере все замкнутые множества. В быстром развитии нового теоретико-множественного направления топологии приняли участие ученые разных стран, причем особо следует отметить польскую топологическую школу.
Существенно новое направление развитие теоретико-множественной топологии получило в работах советских топологов, особенно в построенной выдающимся, безвременно погибшим советским математиком П. С. Урысоном (1898—1924) общей теории размерности, которая заложила основы классификации самых общих точечных множеств по основному признаку — числу измерений. Эта классификация оказалась чрезвычайно плодотворной и повлекла за собой совершенно новые точки зрения в изучении наиболее общих геометрических форм2. Идеи Урысона, развитые в его теории размерности, послужили той почвой, на которой возникли замечательные работы JI. А. Люстерника (совместно с Л. Г. Шнирельма-ном) по вариационному исчислению.
В этих работах наряду с другими результатами было дано исчерпывающее положительное решение знаменитой проблемы Пуанкаре о существовании трех замкнутых годезических линий бе» кратных точек на всякой поверхности, гомеоморфной сфере.
С другой стороны, на почве теории размерности произошло перенесение П. С. Александровым алгебраических методов комбинаторной топологии в область теории множеств, что в свою очередь повело к новым
1 В сущности, для развития теории функций комплексного переменного необходимо было решить даже еще более трудную задачу, а именно доказать, что лежащий в л-мерном пространстве топологический образ л-мерной области в свою очередь всегда) есть область. ЭА задача также была решена Брауэром.
2 Индуктивное определение размерности множеств, предложенное Урысоном,. можно рассматривать как наиболее полное развитие идей Лобачевского о сечении как основной геометрической операции. В самом грубом приближении оно сводится к следующему. Множество нульмерно, если оно может быть представлено в виде суммы сколь угодно малых частей, не находящихся между собой попарно в соприкосновении. Множество л-мерно, если (л — 1)-мерными подмножествами его можно «рассечь» на. сколь угодно малые, попарно не соприкасающиеся части и если этого нельзя достигнуть, рассекая его посредством множеств размерности меньше чем п — 1. (Точное определение соприкосновения, как оно понимается в современной топологии, будет даио в § 7.) § 6. Развитие топологии
207
направлениям топологических исследований, в которых математики СССР, вплоть до самых молодых, прочно удерживают первое место 1.
Что касается собственно комбинаторной топологии, то после работ Пуанкаре и Брауэра, примерно около 1915 г., начинается цикл исследований американских топологов—Веблена, Биркгофа, Александера, Леф-шеца. Ими были достигнуты очень значительные результаты. Так, Алек-сандер доказал топологическую инвариантность чисел Бетти, а также свою основную теорему двойственности, послужившую отправной точкой дальнейших исследований Л. С. Понтрягина; Лефшец дал известную формулу об алгебраическом числе неподвижных точек при любых непрерывных отображениях многообразий и тем заложил основы общей алгебраической теории непрерывных отображений, развитой далее Хопфом; Биркгофу наука обязана существенным продвижением теории динамических систем в ее чисто топологическом и в метрическом аспекте и т. д. Дальнейшее очень глубокое развитие топология многообразий и их непрерывных отображений получила в работах Хопфа, который наряду со многими другими результатами доказал существование бесконечного числа непрерывных отображений трехмерной сферы на двумерную, существенно различных между собой в том смысле, что никакие два из этих отображений не могут быть непрерывным видоизменением переведены друг в друга. Хопф, таким образом, становится основателем нового направления — так называемой гомотопической топологии. В настоящее время в гомотопической топологии, как и вообще во всей комбинаторной топологии, произошел новый большой сдвиг, вызванный работами новой французской топологической школы (Лерэ, Cepp и др.).
