Математика ее содержание, методы и значение Том 3 - Александров А.Д.
Скачать (прямая ссылка):
Фундаментальные исследования Урысона были, как уже упоминалось, началом деятельности советских математиков в области топологии. Эти исследования относились к теоретико-множественной топологии, но уже с конца двадцатых годов советские топологи включают в круг своих интересов и комбинаторную топологию. Это включение произошло очень самобытным образом — посредством приложения комбинаторных методов к изучению замкнутых множеств, т. е. объектов очень общей природы. На этой почве произошло одно из значительнейших геометрических открытий текущего столетия — формулировка и доказательство Л. С. Понт-рягиным его общего закона двойственности, устанавливающего глубокие и в известном направлении исчерпывающие связи между топологическим строением данного замкнутого множества, лежащего в /i-мерном эвклидовом пространстве, и дополнительной к нему части пространства. В связи со своим законом двойственности Л. С. Понтрягин построил общую
1 Здесь следует указать на так называемую гомологическую теорию размерности П. С. Александрова, на относящиеся к ней замечательные построения JI. С. Понтрягина и на дальнейшее развитие гомологической теории размерности в работах М. Ф. Бокштейна, В. Г. Болтянского и особенно К. А. Ситникова. О законе двойственности Л. С. Понтрягина еще будет идти речь. 208
Глава XVIl 1. Топология
теорию характеров коммутативных групп, что привело его и к дальнейшим исследованиям в области общих топологических и классических непрерывных групп Ли — области, которая совершенно преобразована работами Л. С. Понтрягина. В дальнейшем Л. С. Понтрягин и его ученики произвели ряд выдающихся исследований по топологии многообразий и их непрерывных отображений (В. Г. Болтянский, М. М. Постников и др.). В этих исследованиях нашел свое применение новый метод — так называемых 7_г°мологий, введенный в комбинаторную топологию А. Н. Колмогоровым и, независимо от него, Александером. Этот метод, занимающий сейчас первое место во всей гомотопической топологии, позволил в совершенно различных направлениях продолжить теорию двойственности Л. С. Понтрягина, что повело к теоремам двойственности А. Н. Колмогорова (и Александера), П. С. Александрова и К. А. Сит-никова, принадлежащим к значительным результатам современной топологии. Этот же метод нашел важные приложения и в новейших работах Л. А. Люстерника по вариационному исчислению.
§ 7. МЕТРИЧЕСКИЕ И ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА
В начале нашего изложения мы говорили о прикосновении (различных частей данной фигуры) как об основном топологическом понятии и определили непрерывные преобразования как такие, которые сохраняют это отношение. Однако точного определения этого основного понятия дано не было; сделать это достаточно общим образом можно лишь на основе понятий теории множеств. Это и составляет задачу настоящего параграфа; ее решение завершается введением понятия топологического пространства.
Теория множеств позволила придать понятию геометрической фигуры широту и общность, недоступную так называемой «классической» математике. Объектом геометрического, в частности топологического, исследования становятся теперь любые точечные множества, т. е. любые множества, элементами которых являются точки «-мерного эвклидова пространства. Между точками /г-мерного пространства определено расстояние: именно, расстояние между точками А=.(хх, X2,..., х„) и В = (у1, у2,..., уп) по определению равно неотрицательному числу
р (А, В) - ^x1 - У,)2 + (х2 - у2)2 + . .. + [хп - уп)\
Понятие расстояния позволяет определить прикосновение сначала между множеством и точкой, затем — между двумя множествами. Мы говорим, что точка А есть точка прикосновения множествам, если в множестве M имеются точки, расстояние которых от точки А меньше всякого наперед заданного положительного числа. Очевидно, любая точка данного множества есть его точка прикосновения, но и точка, не являющаяся точкой данного множества, может быть его точкой прикосновения. Возьмем, например, открытый промежуток (0,1) на числовой прямой, т. е. § 7. M em ранее Hui и тополоеическйё пространства
209
множество всех точек, Лежащих между 0 и 1; сами точки 0 и 1 не принадлежат этому промежутку, но являются его точками прикосновения, так как в промежутке (0, 1) имеются точки, сколь угодно близкие к нулю, и точки, сколь угодно близкие к единице. Множество называется замкнутым, если оно содержит все свои точки прикосновения. Например, отрезок [0,1] числовой прямой, т. е. множество всех точек х, удовлетворяющих неравенству О^ж^І, замкнуто.
Замкнутые множества на плоскости и тем более в пространстве трех и более измерений могут иметь чрезвычайно сложную структуру; именно они и являются по преимуществу предметом изучения теоретико-множе-ственной топологии /i-мерного пространства. Мы скажем далее, что два множества PaQ соприкасаются между собой, если хотя бы одно из них содержит точку прикосновения другого. Согласно этому определению, два пересекающихся (т. е. имеющих общие точки) множества всегда соприкасаются. Из предыдущего следует, что два замкнутых множества соприкасаются лишь в том случае, когда они имеют хотя бы одну общую точку; но, например, отрезок [0, 1] и промежуток (1, 2), не имея общих точек, соприкасаются, так как точка 1, принадлежащая отрезку [0, 1J, в то же время является точкой прикосновения промежутка (1, 2). Теперь мы можем сказать, что множество R разбивается («рассекается») лежащим в нем множеством S, или что S является «сечением» множества R, если множество R—S, состоящее из всех точек множества R, не принадлежащих S, может быть представлено как сумма двух не соприкасающихся между собой множеств.
