Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Александров А.Д. -> "Математика ее содержание, методы и значение Том 3" -> 92

Математика ее содержание, методы и значение Том 3 - Александров А.Д.

Александров А.Д. Математика ее содержание, методы и значение Том 3 — М.: Академия наук , 1956. — 336 c.
Скачать (прямая ссылка): matemateesoderjanieiznacheniet31956.djvu
Предыдущая << 1 .. 86 87 88 89 90 91 < 92 > 93 94 95 96 97 98 .. 145 >> Следующая


Топология функциональных и вообще метрических пространств — всё еще не последнее слово общности в современных топологических теориях. Дело в том, что в метрических пространствах основное топологическое понятие прикосновения вводится на основе расстояния между точками, которое само по себе не является топологическим понятием. Поэтому возникает задача непосредственного, аксиоматического определения прикосновения. Так мы приходим к понятию топологического пространства — самому общему понятию современной топологии.

Топологическое пространство есть множество объектов любой природы (называемых' точками топологического пространства), в котором для каждого подмножества тем или иным -способом заданы его точки

14* 212

Глава XVIl 1. Топология

прикосновения,При этом требуется соблюдение некоторых естественных условий, называемых аксиомами топологического пространства (например, к^жд^я трчка данного множества является его точкой прикосног-вения, точка прикосновения суммы двух множеств является точкой прикосновение по крайней мере одного из слагаемых и т. п.). Теория топологических пространств — в настоящее время глубоко разработанная область математики. В ее развитии приняли ведущее участие советские ,математики П. С. Урысон, П. С. Александров, A-. Н. Тихонов и др. Из новейших результатов в теории топологических пространств, имеющих принципиальное значение, следует отметить найденное молодым математиком Ю. М. Смирновым необходимое и достаточное условие метризуемости топологического пространства, т. е. условие, при котором между точками пространства можно определить расстояние таким образом, чтобы имеющаяся «топология» пространства могла рассматриваться как порожденная этим понятием расстояния. Иными словами, чтобы точки прикосновения всевозможных множеств в полученном метрическом пространстве были теми же самыми, что и определенные с самого начала в данном топологическом пространстве.

ЛИТЕРАТУРА

Александров П. С. Комбинаторная топология. Гостехиздат, 1947.

Обширное систематическое руководство, предъявляющее довольно большие требования к читателю. Александров П. С. Теоремы двойственности в комбинаторной топологии. Юб. сборник, посвящ. 30-летию Великой Октябрьской социалистической революции, т. 1, Изд-во АН СССР, 1947. Александров П. С. Введение в общую теорию множеств и функций. Гостехиздат,. 1948.

Эта книга" является и введением в теоретико-множественную топологию (метрических и топологических пространств). Александров П. С. Топологические теоремы двойственности, ч. 1, Замкнутые множества (Труды Математического института им. В. А. Стеклова АН СССР, т. 48,1955).

Может служить первой книгой для чтения по комбинаторной топологии, ,доводящей читателя до современных исследований в одной из важных областей топологии (теории двойственности). Александров П. С. и Ефремович В. А. Очерк основных понятий топологии. М,—Л., 1936.

• Книга! представляет собою введение в комбинаторную топологию с довольно подробным изложением Топологии поверхностей. Понтрягин Л. С. Основы комбинаторной топологии. Гостехиздат, 1947.

Очень сжатое, но безукоризненно полное изложение основных предложений га-мерной комбинаторной топологии. Глава XIX ФУНКЦИОНАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ

Возникновение и развитие в XX в. функционального анализа обусловлено в основном двумя причинами. С одной стороны, появилась необходимость осмыслить с единой точки зрения богатейший фактический материал, накопленный в различных, часто мало связанных между собой, разделах математики в течение XIX в. При этом основные понятия функционального анализа возникали и выкристаллизовывались с разных сторон и по разным поводам. Многие из основных понятий функционального анализа появились естественным образом в процессе развития вариационного исчисления, в задачах о колебаниях (при переходе от колебаний систем с конечным числом степеней свободы к колебаниям сплошных сред), в теории интегральных уравнений, в теории дифференциальных уравнений, обыкновенных и с частными производными (в краевых задачах, в задачах о собственных значениях и т. д.), при развитии теории функций действительного переменного, в операционном исчислении, при рассмотрении задач теории приближения функций и др. Функциональный анализ позволил понять с едийой точки зрения многие имеющиеся в этих областях результаты и часто способствовал получению новых. Подготовленные при этом понятия и аппарат были использованы в последние десятилетия в новом разделе теоретической физики — в квантовой механике.

С другой стороны, изучение математических проблем, связанных с квантовой механикой, явилось переломным моментом в хоДе дальнейшего развития самого функционального анализа и сформировало и формирует в настоящее время основные направления его развития.

Функциональный анализ еще далек от своего завершения. Однако несомненно, что и в дальнейшем его развитии задачи и потребности современной физики будут иметь для него такое же значение, какое классическая механика имела для возникновения и развития в XVIII в. дифференциального и интегрального исчисления.
Предыдущая << 1 .. 86 87 88 89 90 91 < 92 > 93 94 95 96 97 98 .. 145 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed