Математика ее содержание, методы и значение Том 3 - Александров А.Д.
Скачать (прямая ссылка):
Таким образом, идеи Лобачевского о соприкосновении и рассечений множеств получают в современной топологии свое точное и в высшей степени общее выражение. Мы уже видели, как на этих идеях основывается данное Урысоном определение размерности любого множества (см. примечание на стр. 206); формулировка этого определения получает теперь совершенно точное содержание. Это же относится и к определению непрерывного отображения или преобразования: отображение / множества X на множество У называется непрерывным, если при этом отображении сохраняется соприкосновение, т. е. если из того, что некоторая точка А множества X есть точка прикосновения какого-либо подмножества P множества Yi следует, что образ j(A) точки А есть точка прикосновения образа /(P) множества Р. Наконец, взаимно однозначное отображение множества X на множество У называется топологическим, если оно само непрерывно и если обратное ему отображение множества У на множество X также непрерывно. Эти определения подводят точную базу всему сказанному в первых параграфах настоящей статьи.
Однако теоретико-множественная топология не ограничивается той степенью общности, которая достигается рассмотрением в качестве геометрических фигур всех точечных множеств. Оказывается естественным вводить понятие расстояния не только между точками какого-либо эв-14 Зак. № 812 2J0
Глава XVIII. Топология
клидова пространства, но и между другими объектами, казалось бы вовсе не относящимися к геометрии.
Рассмотрим, например, множество всех непрерывных функций, определенных, скажем, на отрезке [0, 1]. Определим расстояние р (/, g) между двумя функциями / и g как максимум выражения | f(x)—g(x) |, когда X пробегает весь отрезок [0, 1]. Это «расстояние» обладает всеми основными свойствами расстояния между двумя точками пространства: р (/, g) между двумя функциями /ng равно нулю тогда и только тогда, когда эти функции совпадают, т. е. когда f(x) = g(x) для любой точки ж; далее, расстояние, очевидно, симметрично, т. е. р (/, §г) = р(§г, /); наконец, оно удовлетворяет так называемой аксиоме треугольника: для любых; трех функций Z1, /2, /з имеем p(/j, /2) + р(/2> /з)>р(/і> /з)- Принято говорить, что приведенное определение расстояния превращает наше множество функций в метрическое пространство (обычно обозначаемое через С). Под метрическим пространством вообще понимается множество каких угодно объектов, условно называемых точками метрического пространства, если только между любыми двумя точками определено расстояние, являющееся неотрицательным числом, удовлетворяющим приведенным только что «аксиомам расстояния».
Если дано какое-нибудь-метрическое пространство, то можно говорить о точках прикосновения его подмножеств, а следовательно, и о соприкосновении его подмножеств между собою и вообще о топологических понятиях (замкнутых множествах, непрерывном отображении и дальнейших понятиях, вводимых на основе этих простейших). Таким путем открывается обширное и чрезвычайно плодотворное поле применения топологических и вообще геометрических идей к таким кругам математических объектов, в применении к которым, казалось бы, совершенно невозможно говорить ни о какой геометрии. Приведем поясняющий пример.
Возьмем снова дифференциальное уравнение (2)
у)-
Если у = <р(х) при 0 ^ X ^l, есть решение этого уравнения, принимающее, положим, для значения х = 0 значение у = 0, то функция 9 (г), очевидно, удовлетворяет интегральному уравнению
X
<?(x)=\F(x, <?(x))dx. о
X
Рассмотрим теперь интеграл = ^ F (х, f(x))dx, где 0 ^ а; In
о
/(х)—какая-нибудь непрерывная функция, определенная на отрезке [0, Ij. § 7. Метрические и топологические пространства
211
Этот интеграл есть некоторая непрерывная функция g (х), также опре-
X
деленная на отрезке [0, 1]. Так, выражение G(f) = j F(х, f(x))dx ста-
о
вит в соответствие каждой функции / функцию g = G(J); другими словами, мы имеем отображение G, как легко видеть — непрерывное, метрического пространства С в себя. Чем же характеризуется при этом функция <р(ж) (их может быть несколько), являющаяся решением уравнения (2) или эквивалентного ему уравнения (3)? Тем, очевидно, что при нашем отображении она переходит сама в себя, т. е. является неподвижной точкой нашего отображения G. Оказывается, такая неподвижная точка у отображения G действительно существует — это вытекает из весьма общей теоремы о неподвижных точках непрерывных отображений метрических пространств, доказанной в 1926 г. П. С. Александровым и В. В. Немыцким. В настоящее время рассмотрение различных метрических пространств, точками которых являются те или иные функции (такие пространства называются функциональными), является постоянно применяемым аппаратом анализа, а изучение функциональных пространств посредством отчасти топологических, а главным образом, в широком смысле слова, алгебраических методов, составляет содержание функционального анализа (см. главу XIX).
Функциональный анализ, как уже упоминалось в вводной главе, занимабт в современной математической науке чрезвычайно видное место ввиду многообразия своих связей со всевозможными другими частями математики и по своему значению для естествознания, в первую очередь для теоретической физики. Исследование топологических свойств функциональных пространств тесно связано с вариационным исчислением и теорией уравнений с частными производными (исследования JI. А. Люстерника, Морса, Лерэ, Шаудера, М. А. Красносельского и др.). Вопросы существования неподвижных точек при непрерывных отображениях функциональных пространств занимают в этих исследованиях значительное место.
