Математика ее содержание, методы и значение Том 3 - Александров А.Д.
Скачать (прямая ссылка):
2Х[аС<Х2Л +[J?B. (9)
Это неравенство остается справедливым для любых значений X и ja; в частности, мы можем положить
X=Vi- (1о>
Подставив эти значения X и [л в неравенство (9), получаем
С
V AB
<1.
Заменяя А, В и С их выражениями по формуле (8), прлучаем окончательно неравенство Коши — Буняковского.
В геометрии скалярное произведение векторов определяется как произведение их длин на косинус угла между ними. Длины векторов / и g в нашем случае равны
j/j f(x)dx и j/j^H dx ,
1 Мы можем взять в качестве С модуль интеграла за счет произвольности в знаке X или [а. 222
Глава JLlJL. Функциональный анализ
а косинус угла между ними определяется формулой
ь
\f{x)g (ж) dx
cos 9 :
j/j /2 (*) dx^\g*-(x)
dx
Перемножая эти выражения, мы приходим к следующей формуле для скалярного произведения двух векторов гильбертова пространства:
ь
(J, g)=\f (x)g(X) dx. (И)
а
Из этой формулы видно, что скалярное произведение вектора / на себя есть квадрат его длины.
Если скалярное произведение ненулевых векторов / и g равво нулю, то это значит, что coso = 0, т. е. приписанный им нашим определением угол <р равен 90°. Поэтому функции fug, для которых
ь
а
называются ортогональными.
В гильбертовом пространстве, как и в /г-мерном, справедлива теорема Пифагора (см. § 1). Пусть Z1 (я), f2(x),..., fs(x) представляют
собой N попарно ортогональных функций, а
/(*) = /,(*) + /,(*)+•••+/,(*)
их сумму. Тогда квадрат длины f равен сумме квадратов длин
Л> /2.....Av
Так как длины векторов в гильбертовом пространстве задаются при помощи интегралов, то теорема Пифагора в этом случае выражается формулой
ь ь ь ь
[ Z2 (X) dx = J f\(x) dx + f Z2 (x) dx + ... + J /2 (x) dx. (12)
Доказательство этой теоремы ничем не отличается от изложенного выше (§1) доказательства той же теоремы в /г-мерном. пространстве.
Мы не уточнили до сих пор, какие именно функции следует считать векторами гильбертова пространства. В качестве таких функций
ь
следует взять все функции, для которых имеет смысл интеграл jf(x)dx.
а
Казалось бы естественным ограничиться непрерывными функциями, для § 3. Разложение по ортогональным системам функций
228
ь
которых I /2 (х) dx заведомо всегда существует. Однако наибольшую
а
законченность и естественность теория гильбертова пространства полу-
ь
чает, если интеграл J f (х) dx понимать в обобщенном смысле, а именно
а
в смысле так называемого интеграла Лебега (см. главу XV).
Это расширение понятия интеграла (и соответственно — класса рассматриваемых функций) необходимо для функционального анализа так же, как для обоснования дифференциального и интегрального исчисления необходима строгая теория действительных чисел. Таким образом, созданное в начале XX в. в связи с развитием теории функций действительного переменного обобщение обычного понятия интеграла оказалось весьма существенным для функционального анализа и связанных с ним разделов математики.
§ 3. РАЗЛОЖЕНИЕ ПО ОРТОГОНАЛЬНЫМ СИСТЕМАМ ФУНКЦИЙ
Определение и примеры ортогональных систем, функций. Бели на плоскости выбрать какие-нибудь два взаимно перпендикулярных вектора и е2 единичной длины (рис. 7), то произвольный вектор в той же плоскости можно разложить по направлениям этих двух векторов, т. е. представить его в виде
f= aI^l + «2^2.
где Ci1 и а2 — числа, равные проекциям вектора f на направления осей и е2. Так как проекция f на ось равна произведению длины f на косинус угла f с осью, то, вспоминая определение скалярного произведения, мы можем написать
aI = (f,
Ч = (/. е2).
Аналогично, если в трехмерном пространстве выбрать какие-нибудь три взаимно перпендикулярных вектора ег, е2, е3 единичной длины, то произвольный векторов атом пространстве можно представить в виде
где
/=«1*1 + 0^4-03*5,
0» = (/, et) (k = 1, 2, 3). 224
Глава JLlJL. Функциональный анализ
В гильбертовом пространстве также можно рассматривать системы попарно ортогональных векторов этого пространства, т. е. функций
?1 (3O' ?2 (s)> •••»?» (А • • •
Такие системы функций называются ортогональными системами функций и играют большую роль в анализе. Они встречаются в самых различных вопросах математической физики, интегральных уравнений, приближенных вычислений, теории функций действительного переменного и т. п. Упорядочение и объединение понятий, относящихся к таким системам, были одним из стимулов, приведших в начале XX в. к созданию общего понятия гильбертова пространства. Дадим точные определения. Система функций
?і (х), Ъ(х)> • %(х)> • • ¦ называется ортогональной, если любые две функции этой системы ортогональны между собой, т. е. если
ь
j <р,- (х) <pA (х) dx = 0 для і =J= к. (13)
а
В трехмерном пространстве мы требовали, чтобы длины векторов системы равнялись единице. Вспомнив определение длины вектора, мы видим, что в случае гильбертова пространства это требование записывается так:
ь
\fk(x)dx = i. (14)
а
Система функций, удовлетворяющая требованиям (13) и (14), называется ортогональной и нормированной.
