Математика ее содержание, методы и значение Том 3 - Александров А.Д.
Скачать (прямая ссылка):
Мы далеки от мысли охватить в этой главе все, хотя бы основные, вопросы функционального анализа. Многие важные разделй остались за пределами этой статьи. Мы хотели тем не менее, ограни-214
Глава JLlJL. Функциональный анализ
чившись несколькими избранными вопросами, познакомить читателя с некоторыми основными понятиями функционального анализа и проиллюстрировать по мере возможности те связи, о которых мы здесь упомянули. Эти вопросы по существу разобраны в начале XX в. в основном в классических работах Гильберта — одного из основоположников функционального анализа. С тех пор функциональный анализ очень сильно развился и широко применяется почти во всех разделах математики: в дифференциальных уравнениях в частных производных, в теории вероятностей, в квантовой механике, в квантовой теории полей и т. д. К сожалению, это дальнейшее развитие функционального анализа здесь не отражено. Для того, чтобы описать это дальнейшее развитие нужно было бы написать отдельную большую статью и мы ограничиваемся поэтому одним из наиболее старых вопросов — теорией собственных функций.
В дальнейшем мы будем пользоваться основными понятиями, относящимися к л-мерному пространству. Хотя в главах о линейной алгебре и абстрактных пространствах эти понятия и вводились, мы считаем нелишним повторить их здесь коротко в том виде, в котором они далее встретятся. При. чтении этого параграфа читателю достаточно знания основ аналитической геометрии.
Мы знаем, что точка в аналитической геометрии трехмерного пространства задается тройкой чисел (Z1, /2, /3) — координат точки. Расстояние этой точки до начала координат равно ^Jf\-\-f\-\-f\. Если считать точку концом вектора, ведущего в эту точку из начала координат, то длина вектора также равна -j- /| -j- /f- Косинус угла между ненулевыми векторами, ведущими из начала координат в две различные точки Aif1, /2, /3) и B(glt g2, g3), определяется формулой
Из тригонометрии мы знаем, что )cos<p|^l. Поэтому имеет место
§ 1. п-МЕРНОЕ ПРОСТРАНСТВО
COS <р =
1\8\ + f'/g2 + faga
\/fl+fl + !t\/gl+&+?
неравенство
I fiSi + hSi + Ьёз I
<1
и, значит, всегда
(/A+te+te)3 < (Л+^+/і) +5-І+SfD •
(i>
Это последнее неравенство носит алгебраический характер и справедливо для любых шести чисел (Z1, /2, /з) и (^1, g2, g3), так как любые шесть чисел могут служить координатами двух точек пространства.§ 1. n-мерное пространство
215
В то же время неравенство (1) получено из чисто геометрических соображений и тесно связано с геометрией, что позволяет сделать его наглядным.
При аналитической формулировке ряда геометрических соотношений часто оказывается, что соответствующие факты остаются справедливыми при замене тройки чисел на п чисел. Например, выведенное нами неравенство (1) может быть обобщено на 2п чисел (/,, /2,. .., /„) и (gv g2, ... , g„). Это значит, что для любых 2п чисел (/,, /2, .. . , /я) и (^ii §%>'••> ёп) справедливо неравенство, аналогичное (1), а именно:
U1S1+/,*,+.-.+и,)2 < и\+п+• • •+a Ф ¦+gl+ • • •+gD ¦ (1')
Это неравенство, частным случаем которого является неравенство (1), может быть доказано чисто аналитически1. Подобным образом обобщаются на п чисел многие другие соотношения между тройками чисел, полученные из аналитической геометрии. Такая связь соотношений между числами (количественных соотношений), примером которых является указанное выше неравенство, с геометрией становится особенно выпуклой, когда вводится понятие л-мерного пространства. Это понятие было введено в главе XVI. Мы здесь вкратце его повторим.
Совокупность н чисел (/,, /2,.. . , /„) называют точкой или вектором л-мерного пространства (мы чаще будем употреблять последнее название). Вектор (Z1, /2, ..., /я) будем в дальнейшем коротко обозначать одной буквой /.
Подобно тому, как в трехмерном пространстве при сложении векторов складываются их компоненты, сумма векторов
/= {/і> /2...../я} И S = [gv gn}
определяется как.вектор (Z1+ ^1. Z2 + • ¦ ¦ , + и обозначается f + g.
Произведение вектора f = {f1, /2...../„} на число X есть вектор
Xf = (XZ1, Xf2, ..., Ifn).
Длина вектора /—{/j, /2, « - -, /„}, аналогично длине вектора в трехмерном пространстве, определяется как \Jff-}- f\-}- . . . -}- f\
Угол <р между двумя векторами /={/,, /2,..., /„} и g= (^1, g2.....
в л-мерном пространстве задается своим косинусом, также совершенно аналогично тому, как определяется угол между векторами в трехмерном пространстве. Именно, он определяется формулой
Pnsr-- /ifi + /sft+--(2)
\//ї+/Ї+...+/2 >/«?+«?+¦••+*:
Скалярным произведением двух векторов называется произведение длин этих векторов на косинус угла между ними. Таким образом, если
1 См. стр. 56—57.
2 То, что Icostpl^ 1, следует ив неравенства (Г).216
Глава JLlJL. Функциональный анализ
/={/]» Л> • • M /я} и g — І8Л* g2> > • •» ?«}» то. так как длины векторов равны соответственно V/? + /!+ • • • +/* и Vf? + ^ + • • ¦ их ска"
лярное произведение, которое обозначается через - (/, g), задается формулой