Математика ее содержание, методы и значение Том 3 - Александров А.Д.
Скачать (прямая ссылка):
(/. f)=/ifc+/A+ ••• + /¦*¦• (3)
В частности, условием ортогональности (перпендикулярности) двух векторов является равенство cos<p = 0, т. е. (/, g) = 0.
При помощи формулы (3) читатель может убедиться, что скалярное произведение в л-мерном пространстве обладает следующими свойствами:
1- (/, g) = (g, /)•
2. (kf, g) = l(f, g).
f
Рис. 2.
з. (/, * + &) = (/. *,) + (/. ft)-
(/» /)^0, причем знак равенства имеет место, только при/=0, т. е. когда Z1=Z2 = — =Z„ = 0.
Скалярное произведение вектора Z самого на себя (f, f) равно квадрату длины вектора f.
Скалярное произведение оказывается очень удобным средством при изучении л-мерных пространств. Мы не будем здесь изучать геометрию л-мерного пространства, а ограничимся лишь одним примером.
В качестве такого примера рассмотрим в л-мерном пространстве теорему Пифагора: квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов. Для этого выберем такое доказательство этой теоремы на плоскости, которое легко переносится на случай л-мерного пространства.
Пусть Z и g — два перпендикулярных вектора на плоскости. Рассмотрим прямоугольный треугольник, построенный на векторах / и g (рис. 1). Гипотепуза этого треугольника равна по длине вектору f-\-g. Запишем векторно теорему Пифагора в наших обозначениях. Так кан квадрат длины вектора равен скалярному произведению вектора на себя, то в терминах скалярных произведений теорема Пифагора запишется так:
</+*. /+*)=</. 7) + (ft *)• ? 2. Гильбертово пространство .
217
Доказательство непосредственно следует из свойств скалярного произведения. Действительно,
Ц + 8, / + *) = (/, /) + (/. *) + (*, /) + (*. 8),
а два средних слагаемых равны нулю в силу ортогональности векторов fug.
В приведенном выше доказательстве мы пользовались лишь определением длины вектора, перпендикулярности векторов и свойствами скалярного произведения. Поэтому в доказательстве ничего не изменится, если мы предположим, что / и g — два ортогональных вектора л-мерного пространства. Тем самым теорема Пифагора доказана для прямоугольного треугольника в л-мерном пространстве.
Если задано три попарно ортогональных вектора в я-мерном пространстве /, g и h, то сумма этих векторов f-\-g-\-h является диагональю прямоугольного параллелепипеда, построенного на этих векторах (рис. 2), и имеет место равенство
(/ + * + А, "/ + * + *) = (/, /) + (?, *) + (*, h),
которое означает, что квадрат длины диагонали параллелепипеда равен сумме квадратов длин его ребер. Доказательство этого утверждения, вполне аналогичное приведенному выше доказательству теоремы Пифагора, мы предоставляем читателю. Точно так же, если в л-мерном пространстве имеется к попарно ортогональных векторов /1, /2,.. ., /*, то столь же просто доказываемое равенство
(/1+/2 + -+А У1+/2+...+/*) = ^, Л+ (Л /*) + ••• + (/*. Ґ) (4)
означает, что квадрат длины диагонали «^-мерного параллелепипеда» в л-мерном пространстве также равен сумме квадратов длин его ребер.
§ 2. ГИЛЬБЕРТОВО ПРОСТРАНСТВО (БЕСКОНЕЧНОМЕРНОЕ ПРОСТРАНСТВО)
Связь с «-мерным пространством. Введение понятия л-мерного пространства оказалось полезным при изучении ряда вопросов математики и физики. В свою очередь это понятие дало толчок дальнейшему развитию понятия пространства и его приложению к различным областям
математики. В развитии линейной алгебры / _
и геометрии л-мерных пространств боль- С ~ ~
шую роль сыграли задачи о малых коле- рис 3
баниях упругих систем.
Рассмотрим следующий классический пример такой задачи (рис. 3). Пусть AB — гибкая нить, натянутая между точками А и В. Представим себе, что в некоторой точке С нити прикреплен грузик. Если вывести его из положения равновесия, он начнет колебаться с некоторой частотой и, которую можно вычислить, зная силу натяжения нити, 218
Глава JLlJL. Функциональный анализ
массу т и положение груза. Положение системы в каждый момент времени задается при этом одним числом, а именно отклонением уг массы т от положения равновесия нити.
Расположим теперь на'нити AB п грузиков в точках C1, C2, ... , Cn. Нить при этом будем считать невесомой. Это значит, что ее масса настолько мала, что по сравнению с массами грузиков мы можем пренебречь ею. Положение такой системы задается п числами ylt у2, . .., уп,
равными отклонениям грузи-
^v4 ____--ков от положения равновесия.
Л—'I ч\ і /-в Совокупность чисел ух, у2,. ..,уш
V2 можно (и это оказывается во
многих отношениях полезным) Ри0- считать вектором (ij1, у2, ... , уп)
п-мерного пространства.
Само исследование малых колебаний, проведенное в таком изложении, оказывается тесно связанным с основными фактами геометрии /г-мерных пространств. Укажем, например, что определение частот колебаний такой системы может быть сведено к задаче о нахождении осей некоторого эллипсоида в я-мерном пространстве.
Рассмотрим теперь задачу о малых колебаниях натянутой между точками А и В струны. При этом мы имеем в виду идеализированную струну, т. е. гибкую нить, обладающую конечной массой, непрерывно распределенной вдоль нити. В частности, под однородной струной понимается струна, плотность которой постоянна.
