Математика ее содержание, методы и значение Том 3 - Александров А.Д.
Скачать (прямая ссылка):
XAg = Xg= а
при любом данном а имеет единственное решение x = ag—1. С другой стороны, произведению элементов группы gh отвечает произведение соответствующих преобразований AgAk, ибо
xAgh = x (gh) = (xg) h = (XAg)Ah = X(AgAh).
Нейтральному элементу е группы G отвечает единичное, а обратному элементу g-1 обратное преобразование. Поэтому совокупность Г всех преобразований, отвечающих элементам группы G, является группой преобразований, изоморфной G. Легко убедиться, что если число элементов G больше 2, то совокупность Г не исчерпывает всех преобра- § в. Основные понятия общей теории групп
283
зований множества G и является лишь подгруппой «симметрической» группы всех преобразований этого множества.
Инвариантные подгруппы и фактор-группы. Пусть P и Q—произвольные совокупности элементов какой-либо группы G. Произведением совокупности P на совокупность Q, символически PQ, называется множество тех элементов группы G, которые могут быть представлены в виде произведения некоторого элемента из P на некоторый элемент из Q. В частности, произведение gP, где g—элемент группы G, есть совокупность произведений элемента g на каждый элемент множества Р.
Подгруппа H группы G называется инвариантной подгруппой или Аормалъным делителем группы G, если gH = Hg для любого g из G. Совокупности вида gH и Hg, где H — произвольная подгруппа, называются соответственно правым и левым смежными классами группы G по подгруппе Н, содержащими элемент g. Таким образом, можно сказать, что инвариантные подгруппы вполне характеризуются тем свойством, что для них левый и правый смежные классы, отвечающие одному и тому же элементу, совпадают.
Если H— инвариантная подгруппа, то произведение двух смежных классов будет, как легко доказать, снова смежным классом, именно: аН • ЬН = аЬ • Н. Подгруппа H сама по себе является смежным классом, отвечающим единице или любому своему элементу h, так как h.H = H. Умножение смежных классов ассоциативно
(аН • ЬН) сН = (ab • с) H = (а • be) Н = аН (ЬН • сН).
Подгруппа H играет роль нейтрального элемента в этом умножении: H • аН = еН • аН = (еа) H = аН, аналогично аН • H = аН. Смежный класс а~1Н является обратным относительно аН, так как аН-OT1H = = aar1 H = H. Следовательно, рассматривая каждый смежный класс по инвариантной подгруппе в качестве элемента нового множества, мы видим, что это множество будет группой относительно операции умножения смежных классов. Эта группа называется фактор-группой группы G по инвариантной подгруппе H и обозначается GjH.
Легко установить, что для конечных групп каждый смежный класс по любой подгруппе H содержит столько различных элементов, сколько их содержит сама подгруппа Н, и что разные смежные классы общих элементов не имеют. Отсюда следует, что число смежных классов конечной группы G по какой-либо ее подгруппе H равно порядку G, деленному на порядок Н, откуда вытекает важная теорема Лагранжа о том, что порядок любой подгруппы конечной группы является делителем порядка группы.
Из определения инвариантной подгруппы видно, что в абелевых группах всякая подгруппа является инвариантной. Другой крайний случай представляют так называемые простые группы, ни одна подгруппа которых, отличная от единичной и от самой группы, не 284
Глава XX. Группы, и другие алгебраические системы
является инвариантной. Помимо абелевых и простых групп, важное значение имеют также разрешимые группы, определение которых было уже дано в § 3. Можно показать, что разрешимые группы обладают конечной цепочкой инвариантных подгрупп G, G1, G2, ..., Gk, первая из которых совпадает с з&данной группой G; каждая следующая содержится в предыдущей; последняя подгруппа является единичной, а все фактор-группы GjG1, G-JG2, ..., Gk-JGk являются абелевыми.
Гомоморфизм. Понятие фактор-группы весьма тесно связано с основным для всей теории групп понятием гомоморфного отображения.
Однозначное отображение совокупности элементов группы G на совокупность элементов группы H называется гомоморфизмом или гомоморфным отображением, если произведению каждых двух элементов первой группы отвечает произведение соответствующих элементов второй.
Таким образом, обозначая для каждого элемента х из группы G через а/ соответствующий элемент группы Н, гомоморфное отображение можно характеризовать свойством
(X1X2)' = X1X2.
Из определений гомоморфизма и изоморфизма видно, что изоморфное отображение обязательно взаимно однозначное, в то время как гомоморфное отображение однозначно только в одну сторону: каждому элементу группы G отвечает единственный элемент группы H, но различные элементы G могут иметь один и тот же образ в Н, В известном смысле можно утверждать, что при изоморфном отображении группа H является точной копией группы G, а при гомоморфном отображении, при переходе от G к Н, различия между некоторыми элементами G стираются, некоторые элементы как бы «склеиваются» в один элемент Н. Однако эта «грубость» гомоморфного отображения не есть недостаток, а, наоборот, является большим преимуществом, позволяющим употреблять гомоморфное отображение в качестве мощного средства для исследования свойств групп.
