Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Александров А.Д. -> "Математика ее содержание, методы и значение Том 3" -> 118

Математика ее содержание, методы и значение Том 3 - Александров А.Д.

Александров А.Д. Математика ее содержание, методы и значение Том 3 — М.: Академия наук , 1956. — 336 c.
Скачать (прямая ссылка): matemateesoderjanieiznacheniet31956.djvu
Предыдущая << 1 .. 112 113 114 115 116 117 < 118 > 119 120 121 122 123 124 .. 145 >> Следующая


Обозначим теперь через Х\, .. ., Xn корни данного уравнения. Совокупность величин, которые можно получить при помощи конечного числа действий сложения, вычитания, умножения и деления, исходя из корней Xv . .., Xn> называется полем разложения уравнения. Так, например, поле разложения уравнения X2 -(-1 = 0 есть совокупность комплексных чисел a-f-бі с рациональными а, Ь, а поле разложения упомянутого выше уравнения X2 -)- \J2 х -)- 1 = 0 есть совокупность чисел вида a-\-bi -{-c\j2-\-di\j2, где а, Ь, с, d — рациональные числа. § 5. Группы Галуа

277

В силу формул Виета коэффициенты уравнения получаются из его корней при помощи операций сложения и умножения, поэтому поле разложения уравнения всегда содержит его основное поле. Иногда эти поля совпадают.

Взаимно однозначное отображение А поля разложения на себя называется автоморфизмом поля разложения относительно основного поля, если для каждой пары элементов поля разложения их сумма переходит в сумму, произведение — в произведение, а каждый элемент основного поля переходит сам в себя. Указанные свойства можно записать формулами

(а + 6) А = аА-\-ЬА, (аЬ)А = аА-ЬА, аЛ = а

(а, Ь € К, а € Р), (7)

где а А—^tot элемент, в который переходит элемент а при отображении А; Р,—-основное поле; К — поле разложения.

Согласно упоминавшемуся на стр. ?55 общему принципу совокупность всех автоморфизмов Поля разложения относительно, основного поля является группой. Эта группа и называется группой Галуа данного уравнения.

Чтобы составить себе несколько более конкретное представление о группе Галуа, заметим прежде всего, что автоморфизмы из группы Галуа переводят корни данного уравнения снова в корни этого же уравнения. Действительно, если х — корень уравнения (6), то, действуя на обе части этого уравнения автоморфизмом А и пользуясь свойствами (7), получим

(хА)п + а1А(хА)"-1 + ...-{-аяА=0- А; так как 0-.4=0, а{А==а(, то отсюда имеем

+O1(Sil)"-1+ ... + о, = O1

что и требовалось. Следовательно, каждый автоморфизм А вызывает-определенную подстановку множества корней уравнения. С другой стороны, зная эту подстановку, мы знаем и сам автоморфизм, поскольку все элементы полз разложения получаются из корней только при помощи арифметических операций. Это показывает, что вместо группы автоморфизмов можно рассматривать соответствующую ей группу подстановок корней уравнения. Отсюда следует, в частности, что все группы Галуа конечные.

Найти группу Галуа какого-либо уравнения — задача обычно сложная и лишь в отдельных случаях группа Галуа находится сравнительно просто. Рассмотрим, например, уравнение (6) с буквенными коэффициентами O1, ... , ап. Основное поле этого уравнения составляют рациональные дроби от коэффициентов, т. е. дроби, числители и знаменатели

которых являются многочленами от а1?___, ая. Поле разложения

составляют рациональные дроби от корней уравнения ..., 278

Глава XX. Группы, и другие алгебраические системы

связанных с коэффициентами, формулами

Ч = 5А + $А+ • ¦ • + 5-А, (8)

• (—і Fa-=SA

Поскольку уравнение (6) «общее», мы можем считать его корни независимыми переменными. Тогда всякая подстановка этих «корней будет вызывать автоморфизм поля разложения. Формулы (8) показывают, что при любом таком автоморфизме коэффициенты переходят сами в себя, а вместе с ними сами в себя переходят и все рациональные дроби от них. Таким бразом, группа Галуа общего уравнения п-й степени по существу является симметрической группой всех подстановок п букв.

Можно указать также уравнения с численными коэффициентами, имеющие симмеїрическую группу своей группой Галуа. Доказано, например, что группа Галуа уравнения ^

1 ГС I п(п—і) 1 2 п(п— 1) (» — 2) 1 -з І I

1 ~~ 1 1.2 ТТ2Х 1-2.3 1 -2-3 ^ + '"-T

+ (-1)" TTTT^r a^ = 0 W

при любом я есть симметрическая группа подстановок степени я.

Вообще известны способы построения уравнений с любой наперед заданной группой в качестве группы Галуа, но при условии, что коэффициенты можно брать произвольными. Если же требовать построения уравнений, имеющих непременно рациональные коэффициенты, то такое построение в настоящее время известно лишь для отдельных типов групп. Значительного успеха в этом направлении добился советский математик И. Р. Шафаревич, нашедший способи построения уравнений с рациональными коэффициентами, имеющими своей группой Галуа любую наперед заданную разрешимую группу. В общем же случае эта задача остается пока нерешенной.

Раэрепшмость уравнений в радикалах. Группа Галуа уравнения характеризует, как это видно из определения, внутреннюю симметрию корней уравнения. Оказалось, что все наиболее существенные вопросы, касающиеся возможности свести решение заданного уравнения к решению-уравнений низших степеней, а также многие другие, могут быть сформулированы в виде вопросов о строении группы Галуа, а группа Галуа каждого уравнения п-й степени есть некоторая группа подстановок я-й степени, т. е. объект вполне конечный, все соотношения в котором, по меньшей мере теоретически, можно найти хотя бы путем проб.
Предыдущая << 1 .. 112 113 114 115 116 117 < 118 > 119 120 121 122 123 124 .. 145 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed