Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Александров А.Д. -> "Математика ее содержание, методы и значение Том 3" -> 116

Математика ее содержание, методы и значение Том 3 - Александров А.Д.

Александров А.Д. Математика ее содержание, методы и значение Том 3 — М.: Академия наук , 1956. — 336 c.
Скачать (прямая ссылка): matemateesoderjanieiznacheniet31956.djvu
Предыдущая << 1 .. 110 111 112 113 114 115 < 116 > 117 118 119 120 121 122 .. 145 >> Следующая


Уже для групп симметрий конечных фигур мы были принуждены отдельно рассматривать случаи 1, 2, 3, 5, когда группа симметрий не содержит поворотов на сколь угодно малый угол, и случаи 4, 6, когда в группе есть такие повороты. При изучении групп симметрий бесконечных фигур, особенно в пространственном случае, это разделение на дискретные группы и группы со сколь угодно малыми преобразованиями приобретает еще большее значение. Поэтому мы сначала более точно проведем разграничение между этими случаями.

Группа движений плоскости называется дискретной, если каждую точку плоскости можно окружить таким кругом, что каждое движение из группы либо оставляет данную точку неподвижной, либо выводит ее сразу за пределы взятого круга.

Как и выше, можно найти все дискретные группы движений плоскости. Все эти группы являются группами симметрий плоских фигур. Здесь естественно различаются три типа дискретных групп симметрий:

Рис. 19. 272

Глава XX. Группы, и другие алгебраические системы

I. На плоскости существует точка, остающаяся неподвижной при всех преобразованиях симметрии. Этот тип содержит перечисленные выше группы Kv Kz, K3 и Кь.

II. На плоскости не существует неподвижной точки, но существует прямая, совмещающаяся с собой при всех преобразованиях группы. Эта прямая называется осью группы. Группы симметрий этого типа имеют орнаменты, вытянутые в виде бесконечной полосы (бордюры). Таких групп существует всего семь:

1. Группа симметрий Lv состоящая только из переносов4 на расстояния, кратные некоторому отрезку а.

2. Группа L2, получающаяся из L1 присоединением вращения на 180%'^тносительно одной из точек оси группы.

3. Группа L3, получающаяся из L1 • присоединением отражения относительно прямой, перпендикулярной к оси группы.

4. Группа L4, получающаяся из L1. присоединением отражения относительно оси. ¦

5. Группа L5, получающаяся из L1 присоединением переноса на

а

отрезок у соединенного с отражением относительнр оси.

6. Группа L6, получающаяся из L4 присоединением отражения относительно некоторой прямой, перпендикулярной оси группы.

Таблица 2

Lt

-а-*

Lp

У й й b

"F"V 'fr "її

ШШ

o

Д

?ltf

o

рэ р R Ri P b b b

...—..................^...........................^.......

bldlbldibidlbld^b

k Da і---- — pjj ^----- pc]
f і № M DC 3C § 4. Федоровские группы

273

7. Группа L7, получающаяся из L8 присоединением отражения относительно некоторой прямой, перпендикулярной к оси группы.

Табл. 2 дает схемы «бордюров», соответствующих каждой из групп L1-L7.

Таблица 3

Vd / / 4Vd / Vd /
-EXisl Vd / I7Xa- / К M / ¦"Xа"

P 1 I4 1 Г р р р р і р і р ¦=1
P P <1 ! •ч і і і і р і р
P ¦=1 P ¦=1 і р р р р р і р
<1 <1 і і і «і •t р і, р

р > P b
о! 1 «J <1
P У P fc.
?) Я

11

12

III. На плоскости не существует ни точки, ни прямой, совмещающихся с собой при всех преобразованиях группы. Группы этого тина называются плоскими федоровскими группами. Они являются группами симметрий бесконечных плоских орнаментов. Их существует всего 17: 18 Зак. № 812 274

Глава XX. Группы, и другие алгебраические системы

пять состоит только из движений 1-го рода, двенадцать — из движении 1 и 2-го рода.

В табл. 3 даны схемы орнаментов, соответствующих каждой из 17 плоских федоровских групп; при этом каждая группа состоит из тех и только тех движений, которые любой флаг, начерченный на чертеже, переводят в любой другой флаг того же чертежа.

Интересно отметить, что мастера орнамента практически открыли орнаменты со всеми возможными группами симметрий; на долю теории групп выпало лишь доказать отсутствие других видов.

Кристаллографические группы. В 1890 г. знаменитый русский кристаллограф и геометр Е. С. Федоров, решил теоретико-групповыми методами одну из основных задач кристаллографии: задачу классификации правильнык пространственных систем точек. Это было первым случаем непосредственного применения теории групп к решению больших задач естествознания и оказало существенное влияние на развитие теории групп.

Кристаллические тела обладают той особенностью, что составляющие их атомы образуют в пространстве в некотором смысле правильную систему. Рассмотрим те движения пространства, которые переводят точки системы снова в точки системы. Эти движения образуют группу, свойства которой позволяют более точно сформулировать и само понятие правильной системы точек.

Систему точек пространства называют правильной пространственной системой точек, если

1) любую точку системы можно перевести в любую другую ее точку посредством движения, совмещающего систему с собой;

2) никакой шар конечного радиуса не содержит бесконечного числа точек системы;

3) существует такое положительное число г, что всякий шар радиуса г содержит по меньшей мере одну точку системы.

Задача изучения строения кристаллических тел оказывается тесно связанной с классификацией правильных пространственных систем точек, которая в свою очередь связана с классификацией дискретных групп движений пространства. Подобно плоскому случаю, группа движений H пространства называется дискретной, если около каждой точки А пространства можно описать такой шар положительного радиуса г с центром в А, что каждое движение, входящее в Н, или оставляет точку А на месте, или выводит ее за пределы шара.
Предыдущая << 1 .. 110 111 112 113 114 115 < 116 > 117 118 119 120 121 122 .. 145 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed