Математика ее содержание, методы и значение Том 3 - Александров А.Д.
Скачать (прямая ссылка):
§ 4. ФЕДОРОВСКИЕ ГРУППЫ
Группы симметрий конечных плоских фигур. Как уже было установлено, симметричность фигуры или тела характеризуется группой движений плоскости или пространства, совмещающих фигуру с собой.
Наиболее просто находятся группы симметрий конечных фигур на плоскости1. В самом деле, пусть дана какая-либо конечная фигура на плоскости и пусть эта фигура совмещается сама с собой некоторым движением А. Тогда центр тяжести фигуры О должен движением А
1 Конечность понимается в том смысле, что вся фигура расположена в ограниченной части плоскости, например в некотором круге. § 4. Федоровские группы
269
также совмещаться сам с собой, т. е. А есть или поворот около О, или отражение относительно прямой, проходящей через О. Итак, группа симметрий любой конечной плоской фигуры может состоять лишь из поворотов около ее центра тяжести и из отражений относительно прямых, проходящих через центр.
Рассмотрим последовательно различные случаи, которые могут представиться при рассмотрении групп симметрий конечной плоской фигуры.
1. Группа, симметрий K1 состоит лишь из единичного (тождественного) преобразования. Это — группа симметрий любой несимметричной фигуры (рис. 13).
2. Группа симметрий K2 состоит из единичного преобразования и отражения чжоло одной прямой (рис. 14).
Заметим, что если группа К содержит отражения около двух прямых а, Ъ, проходящих через О и образующих угол <р между собой, то произведение этих отражений будет поворотом вокруг О на угол 2<р (рис. 15). Отсюда видно, что группа K2 — единственная из групп симметрий, не содержащая поворотов.
3. Группа симметрий K3 состоит лишь из одних поворотов, среди которых нет поворотов на сколь угодно малый угол. В таком случае среди поворотов в группе K3 найдется поворот на наименьший положительный угол. Пусть этот угол равен х°. Докажем, что любой другой поворот, содержащийся в группе, будет кратен у°. Обозначим число градусов в этом повороте через ? и найдем такое целое число h, чтобы /za0<?°<(A-t-l)a°, откуда 0 < ?° — hy° < а0. Группа K3, имея повороты на а0 и ?°, будет иметь и поворот на ?° — /га0. Но 0 ^ ?° — /гх° < а0, а группа не содержит положительных поворотов меньше чем на а0. Поэтому ?° — /гх° = 0, т. е. ?° = /*a°. В частности, поскольку группа K3 содержит поворот на 360°, то для некоторого целого п имеем /га0=;360°,
о 360° откуда а° = . 270
Глава XX. Группы, и другие алгебраические системы
углы, кратные п= 19, /г = 3,
Ррс. 16.
360° 360°
Итак, группа K3 состоит из поворотов на 0°, ——, 2—, ••• 360°
..., (п — 1)—— . Придавая п значения 2, 3, 4,..., мы получим все типы
групп K3. Пример фигур, группа симметрии которых состоит только
из поворотов вокруг О на
360°
—' ПРИ
приведен
на рис. 16.
4. Группа симметрий Ki состоит из одних поворотов и содержит сколь угодно малые повороты. Тогда поворот на произвольный угол а можно с любой степенью точности составить из поворотов, принадлежащих группе Ki. Нас здесь интересуют, конечно, только замкнутые фигуры, т. е. такие, которые включают в себя все свои граничные точки (см. главу XVII, § 9). Легко установить, что для замкнутых фигур группа Ki содержит повороты на любой угол <р. Это — случай направленной круговой симметрии, примером которой может служить окружность, кольцевая полоса и т. п., снабженные некоторым направлением обхода (рис. 17). Здесь при всех допустимых преобразованиях должна совмещаться не только сама фигура,
но и направление ее обхода, что исключает отражения относительно прямой.
Нам остается рассмотреть еще смешанные случаи, когда группа симметрий К содержит и повороты и отражения. Опуская соответствующие доказательства, которые и здесь остаются очень простыми, укажем лишь результат: кроме групп только следующих двух
Рис. 17.
Рис. 18.
существуют еще группы
K1 — Ki, типов.
5. Группа симметрий K5 состоит из п отражений относительно прямых, проходящих через О, делящих плоскость на 2п равных углов, и § 4. Федоровские группы
271
из поворотов на углы, кратные . Такой группой симметрии обладает, например, правильный /г-угольник (рис. 18).
6. Группа симметрий K6 состоит из всех поворотов около О и отражений относительно всевозможных прямых, проходящих через центр О. Это — случай полной круговой симметрии, примером которой может служить симметрия ненаправленной окружности или ненаправленного кругового кольца.
Группы симметрий бесконечных плоских фигур. Нахождение всевозможных групп Чимметрий бесконечных плоских фигур — задача более сложная. Конечно, практически нам никогда не бывает дана вся бесконечная плоскость. Однако кусок плоскости часто бывает покрыт столь мелкими фигурами, что сам кусок представляется по сравнению с ними бесконечно большим. Например, гладко отшлифованная плоскость куска стали оказывается покрытой узорами микроскопических размеров. Правильность этих узоров свидетельствует о внутренней однородности структуры металла.
Другим примером могут служить росписи стен и тканей повторяющимися фигурами. Искусство такой росписи — искусство орнамента — широко развито у большинства народов, начиная с древнейших времен и кончая нашими днями. На рис. 19 дан образец египетской росписи потолка, восходящей к середине второго тысячелетия до нашей эры.
