Математика ее содержание, методы и значение Том 3 - Александров А.Д.
Скачать (прямая ссылка):
Сразу же возникают две задачи: 1) как узнать, эквивалентны или нет любые два узла, заданные своими плоскими чертежами; 2) как классифицировать все неэквивалентные узлы.
Обе задачи до сих пор остаются нерешенными, причем имеющиеся пока основные успехи в их частичном решении связаны с теорией групп.
Выбросим из пространства точки, принадлежащие данному узлу, и рассмотрим фундаментальную группу оставшегося множества точек. Эту группу и называют группой узла. Непосредственно очевидно, что
Рис. 25.
Рис. 26. 296
Глава XX. Группы, и другие алгебраические системы
если узлы эквивалентны, то их группы изоморфны. Поэтому из неизоморфности групп узлов можно заключить о неэквивалентности самих узлов. Так, например, группа узла, приводящегося к окружности, есть циклическая группа, а группа узла, имеющего вид трилистника (рис. 27), есть более сложная группа. Последняя группа некоммутативна и, таким образом, неизоморфна группе окружности. Поэтому можно утверждать, что трилистниковый узел невозможно расправить
в окружность, не разрубая его, — факт, очевидный экспериментально, но требующий для своего доказательства тонких математических соображений.
К сожалению, при рассмотрении групп узлов также встают не решенные до сих нор трудные задачи. Дело в том, что в топологии известны очень простые способы, как по заданному изображению узла найти образующие и определяющие соотношения группы узла. Но чтобы использовать группы для сравнения различных узлов, необходимо уметь решить, изоморфны пли нет группы, заданные своими образующими и определяющими соотношениями, а решение этой задачи до сих пор не известно. Более того, советский математик П. С. Новиков недавно доказал замечательную теорему о том, что невозможно указать никакой единый регулярный способ (точнее — так называемый нормальный алгорифм), посредством которого можно было бы всегда решить, определяют ли две заданные системы определяющих соотношений для одних и тех же образующих одну и ту же группу или нет. Эта теорема заставляет невольно высказать сомнение и в существовании какого-либо единообразного общего способа для распознавания эквивалентности узлов, заданных своими плоскими изображениями.
§ 9. ПРЕДСТАВЛЕНИЯ И ХАРАКТЕРЫ ГРУПП
Общая теория групп по своим методам несколько напоминает элементарную геометрию: в обоих случаях в основу кладется определенная система аксиом, исходя из которой и строится все здание теории. Но пример аналитической геометрии показывает, насколько полезным для исследования геометрических проблем оказывается привлечение аналитических, числовых методов.
Приложением средств анализа и классической алгебры к теории групп является так называемая теория представлений групп. Как аналитическая геометрия дает методы решения не только геометрических задач при помощи анализа, но и, наоборот, бросает геометрический § 9. Представления и характеры групп
297
свет на многие сложные проблемы анализа, так в еще большей степени теория представлений не только служит вспомогательным аппаратом для исследования свойств групп, но и, связывая воедино глубокие понятия и проблемы анализа и теории групп, позволяет для групповых фактов находить выражения в числовых соотношениях, а для аналитических зависимостей находить групповое истолкование. В настоящее время бблыпая часть важных приложений теории групп в физике связана именно с теорией представлений.
Представления групп матрицами. В линейной алгебре (см. главу XVI) уже рассматривалось действие умножения для матриц. Это действие ассоциативно, но, вообще говоря, некоммутативно. Неособенные квадратные матрицы данного порядка образуют группу относительно умножения. Действительно, произведение двух неособепных матриц есть снова неособенная матрица, роль нейтрального элемента играет единичная матрица и для каждой неособенной матрицы существует обратная, тоже неособенная.
Допустим, что дана некоторая группа G и каждому ее элементу g поставлена в соответствие определенная неособенная матрица комплексных чисел Ag порядка п, и притом так, что при перемножении элементов группы соответствующие им матрицы также перемножаются: Agh = Ag ¦ Ak. Тогда говорят, что дано представление группы G матрицами степени п. Обычно слово «матрицами» пропускается и говорят просто о представлении степени п группы G. Представление степени п данной группы G есть просто гомоморфное отображение группы G в группу неособенных матриц степени п. Из общих свойств гомоморфных отображений следует, что при любом представлении нейтральный элемент группы G переходит в единичную матрицу, взаимно обратные элементы в G переходят во взаимно обратные матрицы.
Матрицы 1-го порядка — это отдельные комплексные числа. Поэтому представлением 1-й степени группы G является соответствие, при котором каждому элементу группы G отвечает комплексное число, причем произведению элементов группы отвечает произведение соответствующих комплексных чисел. Например, отображение, при котором четным подстановкам симметрической группы отвечает число 1, а нечетным число —1, будет представлением 1-й степени.
