Математика ее содержание, методы и значение Том 3 - Александров А.Д.
Скачать (прямая ссылка):
293
группа путей может быть определена не только для поверхности, но и для любых множеств точек, лишь бы в этих множествах можно было говорить о путях и их деформациях.
Определяющие соотношения. Способы вычисления групп путей подробно изучены в топологии. При этом оказалось, что, как правило, указанные группы приходится определять при помощи особого способа, который часто применяется в теории групп для задания абстрактных групп, а не только для фундаментальных групп в топологии. Заключается он в следующем.
Пусть G— некоторая группа. Элементы ^1, g2, ..., gn называются образующими элементами группы G, если всякий элемент g можно представить в виде
О ==
О OiiOi2 * * * OjJtI
где г,, г2, ...,«j — некоторые из чисел 1, 2, ...,/г; не стоящие рядом номера і могут совпадать; число сомножителей к произвольно; показатели ос,, ol2, ..., <хк — не равные нулю положительные или отрицательные целые числа.
Чтобы знать группу G, достаточно, кроме образующих, знать еще, какие произведения представляют один и тот же элемент группы и какие представляют различные элементы. Таким образом, для задания группы пужно перечислить все равенства вида
or*ior«, Q^k ^r ог'З/
' • " 0Ijc sJfij2 ' ' ' bJp
имеющие место в группе G. Так как таких равенств всегда бесконечное множество, то, вместо перечисления всех их, даются обычно лишь такие равенства, из которых все остальные вытекают в силу групповых аксиом. Эти равенства и называются определяющими соотношениями.
Ясно, что одна и та же группа может быть задана самыми различными определяющими соотношениями.
Рассмотрим, например, группу H с образующими а, b и соотношениями
а2 = fc\ ab = ba. (10)
Положив c = ab~x, будем иметь
a = be, a2 = b2c2, b3 = b2c2, 6 = с2, а = с3.
Мы видим, что все элементы группы Л можно выразить через один элемент с, причем
а = с3, Ъ = с2.
Так как из этих равенств соотношения (10) непосредственно вытекают, то для с никаких нетривиальных соотношений нет. Следовательно, 294
Глава XX. Группы, и другие алгебраические системы
группа H является бесконечной циклической группой с образующим элементом с.
Если в группе можно выбрать такие образующие, которые не связаны никакими нетривиальными соотношенхшми, то группа называется свободной, а указанные образующие — свободными образующими. Если, например, группа имеет свободные образующие а, Ь, то всякий ее элемент однозначно записывается в форме
aW'A V* ... bfkа к,
где к = О, 1, 2, ...,«, показатели а0, ?lf CC1, ...,(?,? представляют собой целые числа, положительные или отрицательные, отличные от нуля, кроме «крайних» а0 и <у.к, которые могут принимать и нулевые значения. Аналогичное утверждение справедливо и для свободных групп
с большим числом образующих.
Если выписать образующие и определяющие соотношения для двух групп при условии, что рассматриваемые группы общих элементов не имеют, то, объединяя эти соотношения, мы получим новую группу, называемую свободным произведением данных.
Теория свободных групп, а также более общая теория свободных произведений, занимает в теории групп заметное место. G геометрической точки зрения свободное произведение групп H1 и H2 это группа путей такой фигуры, которую можно представить в виде суммы двух замкнутых фигур, склеенных лишь в одной точке и имеющих H1 и H2 своими группами путей. Мы знаем уже, что группа путей цилиндрической поверхности есть свободная группа с одним образующим. Из сделанного замечания следует, например, что группа путей поверхности, изображенной на рис. 24, есть свободная группа с двумя образующими.
Подобно тому, как определялась фундаментальная группа поверхности, можно ввести фундаментальную группу для пространственных тел, конечных или бесконечных.
Узлы и группы узлов. Как уже говорилось, с точки зрения топологии две поверхности считаются одинаковыми, если одну из них можно перевести в другую путем взаимно однозначного и взаимно непрерывного преобразования. Задача топологической классификации всех замкнутых поверхностей давно уже решена. Оказалось, что каждая замкнутая поверхность, расположенная в нашем обыкновенном пространстве, топологически эквивалентна либо сфере, либо сфере с несколькими ручками (рис. 25). Так, например, поверхность тора, изображенная на § 8. Фундаментальные группы
295
рис. 22, может быть непрерывно деформирована в сферу с одной ручкой, поверхность куба — в поверхность сферы и т. п. Ввиду этого изучение фундаментальных групп для замкнутых поверхностей не очень интересно, так как замкнутые поверхности вполне классифицированы и без этих групп. Однако существуют очень простые задачи, где без
фундаментальных групп до сих пор почти ничего не удалось сделать. К числу их относится знаменитая проблема узлов.
Узлом мы будем называть замкнутую кривую, расположенную в обычном трехмерном пространстве. Это расположение может быть, как показывает рис. 26, весьма различным. Два узла называются эквивалентными, если один из них можно деформировать в другой непрерывном процессом, не разрывая кривой и не зацепляя ее саму за себя.
