Математика ее содержание, методы и значение Том 3 - Александров А.Д.
Скачать (прямая ссылка):
§11. ГИПЕРКОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА
При решении практических задач алгебраическим методом обычно в простейших случаях приходят к одному или нескольким уравнениям, из которых находят значения неизвестных величин. Неизвестные при этом являются количественными характеристиками изучаемых объектов; уравнения же составляются при помощи анализа реальных отношений, существующих между объектами.
Так обстоит дело в случаях, когда речь идет о простейших величинах, подобных массе, объему или расстоянию, для количественной характеристики которых достаточно одного числа. Однако в конкретных задачах встречаются не только объекты, характеризующиеся одним числом. Напротив, с развитием техники все большее значение приобретают объекты более сложной природы, для характеристики которых необходимо несколько и даже бесконечно много чисел. Уже такие «ажные физические величины, как сила, скорость, ускорение, характеризуются направленным отрезком и требуют для своего задания трех чисел. Далее известно, что положение точки в пространстве характеризуется тремя числами, положение плоскости — также тремя, положение прямой — четырьмя, а положение твердого тела — даже шестью числами. Поэтому когда приходится при помощи алгебры решать задачи, касающиеся более сложных объектов, то получаются уравнения с большим числом неизвестных, разобраться в которых часто оказывается труднее, чем решить задачу непосредственно, пользуясь ее геометрическими или физическими особенностями. Отсюда естественно возникла мысль попытаться характеризовать более сложные объекты не системами § 11. Гиперкомплексные числа
303
обыкновенных чисел, а какими-нибудь более сложными обобщенными числами, над которыми можно было бы совершать операции, похожие на обычные арифметические действия. Эта постановка вопроса была тем более естественна, что история науки показывала не неизменность понятия числа, а его изменчивость, постепенное обогащение совокупности чисел от чисел натуральных к числам дробным, затем к относительным числам, действительным (рациональным и иррациональным) и, наконец, к комплексным.
Комплексные числа. Из главы IV (том 1) читателю уже известны основные свойства комплексных чисел и простейшие их приложения. Сейчас нас будет интересовать только обоснование понятия комплексного числа. Напомним, как обычно определяется само понятие комплексного числа. Сначала рассматривают только обыкновенные действительные числа и замечают, что квадратный корень из отрицательных чисел не имеет смысла, поскольку квадрат каждого действительного числа есть число положительное или нуль. Далее указывают, что неотложные потребности науки заставили математиков рассматривать и выражения вида a-\-b—1 как особого рода числа, которые они, в отличие от обыкновенных, действительных чисел, стали называть мнимыми. Если считать, что эти мнимые числа подчиняются тем же правилам арифметических действий, что и обычные числа, то все корни квадратные из отрицательных чисел могут быть выражены через величину i = а результат арифметических действий, произведенных в любом конечном числе над действительными и мнимыми числами, может быть всегда представлен в виде a-\-bi, где а и Ь — действительные числа.
Ясно, что такое определение мнимых чисел в высшей степени противоречит здравому смыслу, так как сначала утверждается, что выражения \J—1, \J—2 и т. п. смысла не имеют, а затем предлагается эти не имеющие смысла выражения называть мнимыми числами. Это обстоятельство вызвало большие сомнения математиков XVII и XVIII вв. в законности пользования комплексными числами. Однако эти сомнения рассеялись в начале XIX в., когда нашли геометрическое изображение комплексных чисел точками на плоскости. Строгое чисто арифметическое обоснование теории комплексных чисел было дано немного позже венгерским математиком Бойаи и английским — Гамильтоном. Это обоснование заключается в следующем.
Вместо чисел a-\-bi будем говорить просто о парах действительных чисел (а, Ь). Две пары условимся называть равными, если равны соответственно их первые и вторые члены, т. е. (а, й) = (с, d,) тогда и только тогда, когда а = с и b = d. Сложение и умножение пар определим формулами
(a, b)-\-(c, d) = (a-\-c, ^-(-fiOi (а, Ь) • (с, d) = (ac-*-bd, ad-\-bc).~ 304
Глава XX. Группы, и другие алгебраические системы
Например, имеем
(2, 3) + (1, -2) = (3, 1), (2, 3)(1, -2) = (8, -1), (3, 0) + (2, 0) = (5, 0), (3, 0)(2, 0) = (6, 0).
Эти примеры показывают, в частности, что арифметические действия над парами, у которых на втором месте стоит 0, приводятся к тем же действиям над их первыми членами, в силу чего такие пары можно обозначить просто их первым числом. Вводя еще обозначение і для пары (0, 1), будем иметь
(а, Ь) = а( 1, 0) + 6(0, 1) = а + 6і, ' i2 = (0, 1)(0, 1) = (-1, 0) = -1,
т. е. будем иметь обычные обозначения комплексных чисел.
Итак, с изложенной точки зрения комплексные числа являются парами обычных действительных чисел и действия с комплексными числами — лишь особого рода действия с парами действительных чисел.
