Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Александров А.Д. -> "Математика ее содержание, методы и значение Том 3" -> 128

Математика ее содержание, методы и значение Том 3 - Александров А.Д.

Александров А.Д. Математика ее содержание, методы и значение Том 3 — М.: Академия наук , 1956. — 336 c.
Скачать (прямая ссылка): matemateesoderjanieiznacheniet31956.djvu
Предыдущая << 1 .. 122 123 124 125 126 127 < 128 > 129 130 131 132 133 134 .. 145 >> Следующая


Поставив в соответствие каждому элементу группы G единичную матрицу E степени п, мы получим представление группы G, называемое ее единичным представлением степени п. Если группа G конечная и содержит неединичные элементы, то, кроме единичного представления различных степеней, группа G обязательно имеет также бесконечно много других представлений. Способы нахождения их будут указаны дальше.

Зная одно представление группы G, можно получить бесчисленное множество других. Действительно, пусть g-* Ag — данное представление 298

Глава XX. Группы, и другие алгебраические системы

группы G матрицами степени п. Выберем произвольную неособенную матрицу P той же степени п и положим Bg = P-1AgP. Соответствие g-*Bg будет снова представлением группы G, так как

Bgh = P-1AghP = P-1AvAhP = P-1AgPP-1AhP = BgBll.

Представления, получающиеся этим способом из данного представления путем выбора различных матриц Р, называются эквивалентными данному представлению. В теории представлений эквивалентные представления не считаются существенно различными, все представления рассматриваются обычно лишь с точностью до эквивалентности.

Другим способом нахождения новых представлений является прямое сложение представлений, заключающееся в следующем: пусть g-*Ag, g-*Bg — какие-либо представления группы G матрицами соответственно степеней т и п. Рассмотрим отображение

Учитывая правила перемножения матриц (см. главу XVI), имеем

g \ о BglJо BtBJ-Ko BgI\о Bj'

т. е. указанное отображение снова является представлением группы G. Оно называется суммой двух данных представлений и обозначается Ag-\-Bg. Если слагаемые переставить, то получится иное представление

которое, однако, эквивалентно старому. Поэтому, если эквивалентные представления не различать, то сложение представлений будет коммута»-тивной операцией. Легко видеть, что при том же условии сложение будет и ассоциативной операцией. Имея некоторый запас представлений Ag, Bg, Cg, ... группы G1 можпо путем их сложения получать представления все более высоких степеней: Ag Bg -f- Cg, Ag-\- Ag -Mff-Mff и т. д.

Например, числа 1, —1, і, —і относительно умножения образуют группу. Ставя каждому числу этой группы в соответствие само это число, мы получим представление 1-й степени. В качестве второго представления можно взять отображение 1-»1, —1 —1, Ї-»—і, — і —> і. Суммой этих представлений будет отображение

1^Q' _1->(~о -і)- Но J)--Н~о § 9. Представления и характеры групп

299

Преобразуя его при помощи матрицы P = , получим эквива-

лентное представление

, -/1 0\ , /—1 0\ / 0 1\ /0—1\ 1^ioij- -1^l о —і)' i^l-Io)' -^li о)'

Интересно отметить, что все матрицы этого представления действительны.

Допустим, что все матрицы некоторого представления степени п группы G имеют вид

где Bg, Dg — квадратные матрицы, а левый нижний угол Ag целиком заполнен нулями. Перемножая матрицы Ag и Ah, получим

т. е. Bgh = BgBh, Dgh = DgDh. Это показывает, что отображения g-*Bg и g-*Dg будут также представлениями группы G, но только более низкой степени. Представление Aa называется ступенчатым представлением группы G, а всякое эквивалентное ему представление называется приводимым. Представление же, не эквивалентное никакому ступенчатому, называется неприводимым.

Если во всех матрицах Ag не только левый нижний, но и правый верхний угол Cg заполнен нулями, то представление Ag называется распадающимся в сумму представлений Bg, Dg. Представление, эквивалентное сумме неприводимых представлений, называется вполнч приводимым.

В теории групп доказывается, что всякое представление конечной группы внолне приводимо1. Отсюда следует, что для нахождения всех представлений конечной группы достаточно знать ее неприводимые представления, так как все остальные эквивалентны различным суммам неприводимых.

Практическое вычисление неприводимых представлений какой-либо конечной группы является, обычно,, довольно сложной задачей, которая в явной форме решена лишь для отдельных классов конечных групп, например, для коммутативных групп, для симметрических групп в некоторых других, хотя с теоретической точки зрения свойства представлений конечных групп изучены довольно подробно.

1 Напомним, что мы рассматриваем представления групп матрицами, эле ментами которых могут являться произвольные комплексные числа. 300

Глава XX. Группы, и другие алгебраические системы

Для каждой конечной группы вводится особое «регулярное» представление, которое строится следующим образом. Пусть g]t g2, ...,gK — элементы заданной группы G1 перенумерованные в произвольном порядке, и пусть

giSk = gik (i, ft = l, 2, ..., ft).

Выбирая какое-либо фиксированное значение для к, составим матрицу степени /і, у которой в г-й строке стоит 1 на Zfc-M месте, а остальные места заняты нулями (і = 1,2, ..., п), и введем для нее обозначение Соответствие gk->Rgk (к = 1, 2, ..., п) называется регулярным представлением группы G. То, что это действительно представление, доказывается путем простых вычислений.

Можно доказать также, что, изменяя нумерацию элементов группы, мы перейдем к эквивалентному представлению, и, следовательно, с точностью до эквивалентности каждая конечная группа имеет лишь одно регулярное представление.
Предыдущая << 1 .. 122 123 124 125 126 127 < 128 > 129 130 131 132 133 134 .. 145 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed