Математика ее содержание, методы и значение Том 3 - Александров А.Д.
Скачать (прямая ссылка):
Формулируем вкратце основные теоремы теории представлений конечных групп. Число различных (неэквивалентных) неприводимых представлений конечной группы конечно и равно числу классов сопряженных (см. стр. 280) элементов этой группы. Степепи неприводимых представлений обязательно являются делителями порядка группы, причем регулярное представление эквивалентно сумме всех неэквивалентных неприводимых представлений, в которой каждое неприводимое слагаемое повторяется столько раз, какова его степень.
Отсюда вытекает следующее интересное соотношение между порядком конечной группы и степенями неприводимых представлений.
Обозначим число элементов группы G через п, число классов сопряженных элементов через к и степени неприводимых представлений G соответственно через ftj, ft2.....пк. Из построения регулярного представления видно, что его степень равна п. Поскольку, кроме того, регулярное представление эквивалентно сумме пх представлений, эквивалент-пых первому неприводимому представлению, плюс /I2 представлений, эквивалентных второму, и т. д., и при сложении представлений их степепи складываются, должно иметь место равенство
ft = ftf + ft^+...+ft|. (U)
Поставив каждому элементу группы в соответствие число 1, мы получим тривиальное неприводимое представление степени 1, которым обладает каждая группа. Понимая под H1 в формуле (11) степень именно этого единичного представления, можно формулу (11) переписать в равносильной форме
я = 1 + я|+ ... 4-пЪ
где п2, ..., ftft означают теперь степени нетривиальных неприводимых представлений. § 10. Общая теория групп
301
Пользуясь тем, что п2, ..., пк должны быть делителями числа п и зная к, иногда можно только из одного равенства (11) уже найти л2, ...,пк. Например, симметрическая группа S3 перестановок трех элементов имеет три класса сопряженных перестановок: (1); (12), (13), (23); (123), (132). При /1 = 6, к = 3 равенство (11) допускает единственную систему решений: 6 = I2 —j— I2 —f- 22. Поэтому S3 имеет два различных представления 1-й степени и одно неприводимое представление 2-й степени.
Другцм примером могут служить конечные абелевы группы. Здесь каждый элемент составляет отдельный класс. Поэтому к = п, и из формулы (11) следует, что /I1 = /I2= ... =пк = 1, т. е. все неприводимые представления таких групп имеют первую степень и число их равно порядку группы.
Неприводимые представления абелевых групп иначе называются их характерами. Для всякого представления неабелевой группы характером называется набор так называемых следов (т. е. сумм диагональных элементов) матриц, образующих представление. Характеры конечных групп обладают замечательными свойствами и соотношениями. Исследование представлений и характеров групп обогатило теорию групп интересными общими результатами, нашедшими обширные приложения и в современной теоретической физике.
§ 10. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ГРУПП
Мы уже отмечали, что в течение почти всего прошлого века теория групп развивалась преимущественно как теория групп преобразований. Однако постепенно выяснилось, что основным является изучение именно групп, как таковых, а изучение групп преобразований может быть сведено к изучению абстрактных групп и их подгрупп.
Переход от теории групп преобразований к теории абстрактных групп совершился вначале в теории конечных групп, но быстрое развитие теории групп Ли, а также проникновение теории групп в топологию сделали необходимым создание общей теории групп, в которой конечные группы рассматривались бы лишь как некоторый частный случай.
Первым руководством HQ теории групп, в котором со всей отчетливостью была проведена эта точка зрения, явилась книга О. Ю. Шмидта, вышедшая в Киеве в 1916 г. В 20-х годах Шмидт получил также важную теорему, относящуюся к теории бесконечных групп, которая стала отправным пунктом исследований для ряда других советских алгебраистов. Благодаря деятельности О. Ю. Шмидта и П. С. Александрова, много сделавших для популяризации идей современной алгебры, в Москве образовалась крупная школа теории групп, руководителем которой вскоре стал их ученик А. Г. Курош. 302
Глава XX. Группы, и другие алгебраические системы
Широкую известность приобрела, в частности, доказанная им теорема о том, что всякая подгруппа свободного произведения сама является свободным произведением подгрупп, изоморфных соответствующим подгруппам сомножителей, и, может быть, еще отдельной свободной подгруппы. Позже им была опубликована монография по теории групп, в которой впервые был систематически изложен богатый фактический материал, полученный в области общей теории групп. Эта монография в настоящее время является наиболее полным в мировой литературе курсом общей теории групп, пользующимся широкой международной известностью.
Вслед за алгебраистами Москвы общей теорией групп стали заниматься алгебраисты Ленинграда и других городов, внесшие большой вклад в ее развитие. Исследования по теории групп, ведущиеся в настоящее время в СССР, охватывают все ее существенные разделы, а полученные советскими математиками результаты уже неоднократно оказывали решающее влияние на развитие теории групп.
