Математика ее содержание, методы и значение Том 3 - Александров А.Д.
Скачать (прямая ссылка):
(ST1Ogy = S1-1Olg' = g'-1^ = g'-y = е>,
т. е. g~1ag входит в N при любом g из G и любом а из N, а из этого, очевидно, следует, что N— инвариантная подгруппа. Первое утверждение теоремы доказано. § 7. Непрерывные группы
287
Для доказательства второго утверждения возьмем в группе G произвольный элемент g и рассмотрим совокупность U всех тех элементов и из G, образ которых и' совпадает с образом g1 элемента g. Пусть uCgN, т. е. и = gn, где n?N, тогда и' = g'n' = g*e' = gr. Следовательно, gNCZU. Обратно, если u' = g, то (g~xu) =g,~1u' = g/~1gr = e', т. e. g~1u = n, где п — элемент из Ar. Отсюда и =gn и, значит, U (ZgN. Из gN С U, UdgN следует: U = gN.
Наконец, третье утверждение теоремы очевидно: произвольным смежным классам gN, hN из фактор-группы G/N отвечают в H элементы g1, h', а произведению классов, в силу формулы
gN • hN = gkN,
отвечает (gh)' = g'h', что и требовалось доказать.
f Теорема о гомоморфизмах показывает, что каждый гомоморфный образ H группы G изоморфен соответствующей фактор-группе G/H. Таким образом, с точностью до изоморфизма все гомоморфные образы заданной группы G исчерпываются ее различными фактор-группами.
§ 7. НЕПРЕРЫВНЫЕ ГРУППЫ
Группы Ли. Непрерывные группы преобразований. Успех, выпавший на долю теории групп в решении алгебраических уравнений высших степеней, побудил математиков середины прошлого века попытаться применить теорию групп к решению уравнений других видов, в первую очередь к решению дифференциальных уравнений, играющих столь большую роль в приложениях математики. Эта попытка увенчалась успехом. Хотя группы в дифференциальных уравнениях заняли совершенно иное место, нежели в теории алгебраических уравнений, исследования по применениям теории групп к решению дифференциальных уравнений привели к существеннейшему расширению самого понятия группы и созданию новой теории так называемых непрерыв-вых групп ой групп Ли, оказавшихся чрезвычайно важными для развития самых разнообразных отделов математики.
В то время как группы алгебраических уравнений состоят лишь из конечного числа преобразований, построенные аналогичным образом группы дифференциальных уравнений оказались бесконечными. Кроме того, оказалось, что преобразования, принадлежащие к группе дифференциального уравнения, возможно задать посредством конечной системы параметров, меняя численные значения которых, можно получить все преобразования группы. Пусть, например, все преобразования группы определяются значениями параметров аг, а2, ..., ат. Придавая этим параметрам значения Jc1, X2,.., , хт, мы получим некоторое преобразование X; придавая тем же параметрам новые значения уг, у2, . .., уг, получим другое преобразование У. По условию произведе- 288
Глава XX. Группы, и другие алгебраические системы
ние этих преобразований Z = XY входит в группу и, значит, получается при определенных новых значениях параметров Z1, z2, ... , zr. Значения Zi будут зависеть от X11 х2,.. ., хг, уг, у2,. . ., уг, т. е. будут некоторыми функциями от них
Z1 = Ip1(X1) X2, . . . , Xr, Jz1, у2, • • •, уг), Z2 ^z" ?2 (Х1' гХ2' ••' І ХГ' Уі> У%' • • • I Уг)'
Zr-Ipr(X1) х2, . . . , Xr', ух, у2, . .., уг).
Группы, элементы которых непрерывно зависят от значений конечной системы параметров, а закон умножения выражается при помощи дважды дифференцируемых функций Ipj, . . ., <рг, называются группами Ли, по имени норвежского математика Софуса Ли, впервые исследовавшего эти группы.
В первой половине XIX в. в трудах Н. И. Лобачевского была изложена новая геометрическая система, носящая ныне его имя. Примерно в то же время в самостоятельную геометрическую систему выделилась проективная геометрия; несколько позже была создана геометрия Римана. В результате, ко второй половине XIX в. можно было насчитать уже ряд самостоятельных геометрических систем, с различных точек зрения изучавших «пространственные формы действительного мира» (Энгельс). Охватить все эти геометрические системы с единой точки зрения, сохранив при этом важнейшие качественные отличия их, оказалось возможным при помощи теории групп.
Рассмотрим взаимно однозначные преобразования совокупности точек какого-либо геометрического пространства, не изменяющие тех основных отношений между фигурами, которые изучаются в данной геометрии. Совокупность этих преобразований составляет группу, называемую обычно группой движений или автоморфизмов данной геометрии. Группа движений вполне характеризует данную геометрию, так как если группа движений известна, то соответствующая геометрия может рассматриваться как наука, изучающая те свойства совокупностей точек, которые остаются неизменными при преобразованиях данной группы. Метод классификации различных геометрических систем по их группам движений был выдвинут во второй половине прошлого века в работах Ф. Клейна. Об этом методе и различвых геометрических системах было рассказано в главе об абстрактных пространствах. Здесь же мы только отметим, что группы движений всех фактически изучавшихся в прошлом веке геометрических систем оказались группами Ли. В силу этого задача изучения групп Ли приобрела особую важность. § 7. Непрерывные группы
