Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Александров А.Д. -> "Математика ее содержание, методы и значение Том 3" -> 122

Математика ее содержание, методы и значение Том 3 - Александров А.Д.

Александров А.Д. Математика ее содержание, методы и значение Том 3 — М.: Академия наук , 1956. — 336 c.
Скачать (прямая ссылка): matemateesoderjanieiznacheniet31956.djvu
Предыдущая << 1 .. 116 117 118 119 120 121 < 122 > 123 124 125 126 127 128 .. 145 >> Следующая


Во многих положениях, связанных с преобразованиями, гомоморфное отображение появляется само собой. Рассмотрим, например, группу симметрий правильного тетраэдра (рис. 20). Эта группа изоморфна симметрической группе подстановок четырех элементов, ибо существует одно и только одно движение (1-го или 2-го рода), переводящее вершины A1, A2, Ai в любое другое заданное расположение.

Рассмотрим теперь прямые Z1, I2, I3, соединяющие середины противоположных ребер. Каждое движение, совмещающее тетраэдр с собой, порождает некоторую подстановку I1, I2, I3 и всякая подстановка I1, I2, I3 порождается некоторой симметрией тетраэдра. Ясно, что произведению преобразований тетраэдра соответствует произведение подстановок прямых I1, I2, Z3. По рис. 20 легко проследить, как естественным образом осуществляется при этом гомоморфное отображение § в. Основные понятия общей теории групп

285

симметрической группы подстановок четырех элементов A1, A2, A3, Ai на симметрическую группу подстановок трех элементов I1, I2, I3- Без труда можно найти элементы «большей» группы, которые «склеиваются» при этом гомоморфизме.

Рассмотрим еще несколько примеров. Совокупность всех подстановок п элементов является при п >2 некоммутативной группой. С друго"й стороны, числа -|-1 и —1 относительно умножения также образуют группу. Поставим теперь в соответствие каждой четной подстановке каких-либо п элементов число -)-1, а каждой нечетной подстановке число —1. Это дает гомоморфное отображение симметрической гру/шы подстановок п элементов на группу {—|—1, —1}, так как, согласно § 3, произведение подстановок одинаковой четности есть подстановку четная, а произведение подстановок различной четности есть подстановка нечетная.

Другой пример: если каждому действительному числу X 0 поставить в соответствие его абсолютную величину |ж|, то возникающее отображение группы положительных и отрицательных действительных чисел относительно умножения (нуль исключается) на группу только положительных действительных чисел относительно умножения будет гомоморфизмом, поскольку \ху\ = \х\\у\. рис 20.

Выше было отмечено, что на плоскости каждое движение 1-го рода А может быть представлено в виде произведения подходящего поворота Va вокруг фиксированной точки О и некоторого параллельного переноса Da. Повороты вокруг точки О образуют группу. Поэтому соответствие A-* Vа однозначно отображает группу -плоских движений 1-го рода на группу поворотов плоскости вокруг точки О. Покажем, что это отображение является гомоморфизмом. Из разложений A=VaDa, B = VbDs следует

А В = VaDaVsDb = (VaVs) (Vj1DaVbDb).

Первая скобка есть поворот вокруг О, а вторая — произведение преобразованного переноса Fj 1DaVb на перенос Db и, следовательно, является переносом. Это показывает, что произведению движений AB отвечает произведение соответствующих поворотов VaVb, т. е. что рассматриваемое отображение есть гомоморфизм.

Наконец, докажем, что фактор-группа G/N произвольной группы G по любому ее нормальному делителю N есть гомоморфный образ группы G.

Действительно, поставив каждому элементу g группы G в соответствие смежный класс gN, содержащий g, мы получаем искомое 286

Глава XX. Группы, и другие алгебраические системы

гомоморфное отображение G на G/N, так как произведению gh отвечает смежный класс ghN, равный произведению смежных классов gN и hN, отвечающих элементам g и h.

Возвращаясь к общим сйойствам гомоморфных отображений, покажем, что нейтральный элемент при любом гомоморфизме переходит в нейтральный элемент и что взаимно обратные элементы переходят во взаимно Ьбратные же.

В самом деле, если е—нейтральный элемент группы G, е'—его образ в Н, то из ее = е следует ёё = е\ откуда, обозначая через е нейтральный элемент группы Н, получим: е' = е'е'—1 = г. Первое утверждение доказано. Пусть теперь х и у — взаимно обратные элементы в G9 а ж' и у' — их образы в Н. Из ху = е следует жу = е' = г, т. е. х и у — взаимно? обратные элементы в Н, и, значит,

(X-1Y = X1-1.

Доказанные утверждения позволяют легко найти образ любого произведения элементов из G. Например,

(аЬ^с-ЧЬ-1)' = а' (б"1') (с-1)' d' (hr1)' = а'Ь'^с'-Ч'Ь'-1.

Следующая теорема лежит в основе всей теории гомоморфных отображений.

При гомоморфном отображении произвольной группы G на группу H совокупность N элементов группы G, отображающихся в нейтральный элемент е' группы Н, является инвариантной подгруппой в G; совокупность элементов Gt отображающихся в произвольный фиксированный элемент группы Н, является смежным классом G по N, а устанавливающееся таким образом взаимно однозначное соответствие между смежными классами G по N и элементами группы H есть изоморфизм между H и фактор-группой GjN.

Докажем эту теорему. Пусть а, Ъ — произвольные элементы из N. Это означает, что а' = Ъ' = ё, где штрихом, как и ранее, обозначены образы элементов GbH. Ho тогда

(ab)' = а'Ъ' = е'е' = е', (а-1)' = а'-1 =: е'—1 = ё,

т. е. ab и обратные элементы а-1, Ь"1 принадлежат N, и, следовательно, совокупность N является группой. Далее, для произвольного элемента g из G
Предыдущая << 1 .. 116 117 118 119 120 121 < 122 > 123 124 125 126 127 128 .. 145 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed