Математика ее содержание, методы и значение Том 3 - Александров А.Д.
Скачать (прямая ссылка):
Кватернионы. Исторически первой гиперкомплексной« системой,, рассмотренной в математике, является система' кватернионов, т. е. «четверных чисел», введенная английским математиком и механиком Гамильтоном в середине прошлого столетия. Эта система удовлетворяет всем требованиям 1—10, кроме 7 (коммутативность умножения).
Кватернионы описываются следующим образом. Введем для четверок (1, 0, 0, 0), (0, 1, 0, 0), (0, 0, 1, 0), (0, 0„ 0, 1) сокращенные обозначения 1, i, /, к. Тогда в силу равенства
(а, Ь, с, d) = a( 1, 0, 0, 0) + 6(0, 1, 0, 0)4 с(0, 0, 1, 0)4-^(0, 0, 0, 1) каждый кватернион мЬжно однозначно представить в виде (а, Ь, с, d) = a- \-\-Ь ¦ i-\-c • j d • к.
Кватернион 1 будем считать ^единицей строящейся системы величин, т. е. будем считать, что 1*а = а-1 = а для любого кватерниона а. Далее положим по определению: i2 = /2 = A;2 = —1;
if = —fi = k, <~ік = — кі = —/', /к = —kf= і.
Эту «таблицу умножения» кватернионов легко запомнить при помощи рис. 28, на котором точками і, /, к на окружности изображены последовательные кватернионы i, /, к. Произведение двух рядом располо- § 11. Гиперкомплексные числа
307
женпых кватернионов равно третьему, если движение от первого множителя ко второму происходит па рисунке по часовой стрелке, и равно третьему со знаком минус, если движение происходит против часовой стрелки. Зная таблицу умножения кватернионов i, /, к, умножение произвольных кватернионов производят, пользуясь распределительным-законом 9. Именно:
(а ¦ I + b ¦ і + с ¦ j + d-k)^ ¦ l+fc] • і 4- c1 -j + dx-к) = = ааг ¦ 1 -f- аб] • і -j- асх • j + Cid1- к -j- Ьаг - і -f- ЬЬг - ii + 6ct • if+bdx • ik -j-
-j- ca1 • j -j- Cb1 • fi + cc1 • /'/ + Cd1 ¦ jk ^da1-k~j- dbx ¦ ki +dcx ¦ kj+ddx • kk = = (CiCi1 — fefej — cc1 — ddx) • 1-j- (abj -j- bax -j- Cd1 — dcx)-i +
+ {acx + cax — bdx + dbx)-f + (adx -f- dax -f- bcx — сЬх)-к.
Мпожитель 1 в первом члене кватерниона обычно опускают и вместо а • 1 пишут а. Равенства if =—/і, ik = —ki,/к=—к/ показывают, что умножение кватернионов не перестановочно. Множимое и мпожитель здесь не равноправны. Поэтому при вычислениях с кватернионами необходимо тщательно следить за порядком сомножителей. В остальпом действия с кватернионами не отличаются какой-либо трудностью. В частности, сочетательный закон 8 при умножении кватернионов имеет место. Он легко проверяется для базисных кватернионов 1, i, /, к при помощи таблицы умножения; переход же к общему случаю очевиден.
Число а кватерниона a + bi + cj + dk называется его действительной или скалярной частью, а сумма bi+cf + dk — его векторной частью. Кватернионы a -f- bi -(- с/ -f- dk и а — bi—с/ — dk, отличающиеся лишь знаком векторной части, называются сопряженными. Очевидпо, сумма двух сопряженных кватернионов есть число действительное. Кроме того, перемножая сопряженные кватернионы по приведенной выше формуле, получим
(a + bi + cj + dk)(a — bi — cf — dk) = a2-\-b2 + c2 + d2, (12)
т. е. действительным числом является и произведение сопряженных кватернионов.
Сумма квадратов коэффициентов а?Ь2с2 -\-сР кватерниона а-{--\-bi-\-cj-\-dk называется его нормой. Поскольку квадрат любого действительного числа есть число неотрицательное, то t норма каждого кватерниона есть также число неотрицательное, равное нулю только для нулевого кватерниона.
Формула (12) показывает, что произведение какого-либо кватерниона на сопряженный кватернион равно норме данного кватерниона.
20*- 308
Глава XX. Группы, и другие алгебраические системы
Условимся звездочкой обозначать кватернион, сопряженный данному. Тогда непосредственное перемножение показывает справедливость следующей формулы:
(a?)* = ?*a*.
Отсюда вытекает интересное следствие: норма произведения кватернионов равна произведению норм сомножителей. В самом деле, на основании предыдущего имеем
норма (a?)= (a?)(a?)* = a??*a* = (aa*)(??*) = HopMaa • норма ?.
Свойства нормы позволяют весьма просто решить и вопрос о делении кватернионов. Пусть a = а bi с/ -f- dk — произвольный непулевой кватернион. Тогда
(a ArU + с/ A-dk) а2 да .j. ?2.[_ ^2 (a bi с/ dk) = т. е. кватернион
+ + - Ы ~ eJ - dk) = a_I
является обратным для заданного кватерниона а.
Умея находить обратный кватернион, легко найти и частные двух кватернионов. Действительно, пусть даны два кватерниона a, ?, из которых первый отличен от нуля. Тогда частными от деления ? на a мы должны назвать решения уравнений
ccx = ?, ух = ?.
Умножая обе части первого уравнения на обратный кватернион а-1 слева, получим
X= CC1^.
Умножая обе части второго уравнения на а-1 справа, будем иметь
y = ? ос-1.
Так как произведения a~'? и ?a_1 в общем случае различны, то для кватернионов приходится различать два деления — правое и левое; оба они всегда выполнимы, за исключением, конечно, деления на нуль.
Алгебра векторов. Хотя действия с кватерпионами во многом сходны с действиями над комплексными числами, все же отсутствие переместительного закона для умножения делает свойства кватернионов глубоко отличными от свойств чисел. Например, из алгебры комплексных чисел хорошо известно, что квадратное уравнение имеет два корня. Если же мы будем рассматривать хотя бы квадратное уравнение
