Математика ее содержание, методы и значение Том 3 - Александров А.Д.
Скачать (прямая ссылка):
289
Благодаря обилию связей с самыми различными областями математики и механики, теория групп Ли энергично развивалась от своего основания вплоть до наших дней. При этом оказалось, что некоторые вопросы, не решенные для конечных групп и в настоящее время, были сравнительно быстро разрешены для групп Ли. Так, задача классификации простых конечных групп (т. е. конечных групп, не имеющих нетривиальных инвариантных подгрупп) остается до сих пор мало продвинутой, а соответствующая классификация простых групп Ли была получена Киллингом и Картаном еще в конце прошлого века. Развивая теорию групп Ли, советские математики В. В. Морозов, А. И. Мальцев, Е. Б. Дынкин нашли полное решение важной проблемы классификации простых подгрупп групп Ли, долгое время ожидавшей своего решения. В ином направлении развивалась теория групп Ли советскими математиками И. М. Гельфапдом и М. А. Най-марком, нашедшими так называемые неприводимые представления простых групп Ли унитарными преобразованиями гильбертова пространства; последняя задача представляет особый интерес для анализа и физики.
Изучение групп Ли осуществляется посредством своеобразного аппарата так называемых «инфинитезимальных групп», или алгебр Ли. Более подробно они будут рассмотрены в § 13.
Топологические группы« Наряду с широким развитием классиче^ ской теории групп Ли в СССР исключительных успехов достигла более общая теория топологических или непрерывных групп. В отличие от понятия группы Ли, где требуется, чтобы элементы группы определялись конечной системой параметров и чтобы закон умножения выражался при помощи дифференцируемых функций, понятие топологической группы проще и шире. Именно, группа называется топологической, если для ее элементов, кроме обычной групповой операции определено понятие близости, и при этом из близости элементов группы следует близость их произведений и близость обратных элементов.
Первоначально понятие топологической группы оказалось необходимым, чтобы привести в надлежащий порядок многие основные понятия теории групп Ли. Однако впоследствии обнаружилась чрезвычайно большая важность этого понятия и для других отделов математики. Первые работы по теории общих топологических групп относятся к началу 20-х годов нашего века, но фундаментальные результаты, позволившие говорить о возникновении новой дисциплины, были найдены лишь в конце 20-х—начале 30-х годов. Значительная часть их была получена советским математиком Л. С. Понтрягиным, который заслуженно считается одним из создателей современной теории непрерывных групп. Его книга «Непрерывные группы», содержащая первое в мировой литературе сводное изложение теории непрерывных групп, остается основным руководством в этой области уже почти 20 лет.
19 Зак. № 812 290
Глава XX. Группы, и другие алгебраические системы
' § 8. ФУНДАМЕНТАЛЬНЫЕ ГРУППЫ
Во всех рассмотренных в предыдущих параграфах конкретных случаях группы обычно появлялись как группы преобразований тех или иных множеств. Исключение составляли лишь группы чисел относительно сложения и умножения. Теперь мы хотим разобрать важный пример, когда с самого начала группа возникает не как группа преобразований, а именно как некоторая алгебраическая система
с одним действием.
Фундаментальная группа. Рассмотрим некоторую поверхность S и на ней подвижную точку M. Заставляя M пробегать на поверхности непрерывную кривую, соединяющую точку А с точкой В, мы получим определенный путь из А в В. Отот путь может пересекать сам себя любое число раз и даже может идти сам по себе на отдельных участках. Чтобы указать путь, мало задать только кривую, по которой перемещается точка М. Нужно еще указать участки, которые эта точка проходит несколько раз, и направление их прохождения. Например, точка может пробегать одну и ту же окружность различное число раз и в различных направлениях, причем все эти круговые пути считаются различными. Два пути с одинаковыми начальными и конечными точками называются эквивалентными, если один из них можно перевести в другой непрерывным изменением. На плоскости или сфере любые два
Рис. 21.
Рис. 22.
Рис. 23.
пути, соединяющие точку А с точкой В, эквивалентны (рис. 21). Однако на поверхности тора, например, замкнутые пути UnV (рис. 22), выходящие и оканчивающиеся в точке А, не эквивалентны друг другу.
Если вместо тора рассмотреть бесконечно простирающийся в обе стороны круговой цилиндр и на нем взять путь X (рис. 23), то легко сообразить, что любой замкнутый путь с начальной точкой А, проведенный на цилиндре, будет эквивалентен пути вида Х"(п = 0, +1, § 8. Фундаментальные группы
291
±2,...), где под Xn (п ^>0) следует понимать путь X, повторенный п раз; под X0 — нулевой путь, состоящий лишь из одной точки А, а под Х~"—путь Xn, пробегаемый в обратную сторону, например: Z — -ST-1, Y — Z2, U — -X0 (рис. 23). Этот пример показывает значение понятия эквивалентности путей: в то время как различных замкнутых путей на цилиндре существует необрзримое множество, с точностью до эквивалентности все эти пути сводятся только к окружности X, пробегаемой в том или ином направлении достаточное число раз. При т=?=п пути Xm и Xn не эквивалентны.
