Математика ее содержание, методы и значение Том 3 - Александров А.Д.
Скачать (прямая ссылка):
Возвращаясь к рассмотрению произвольной поверхности, предположим, что нам заданы на ней два пути —путь U, ведущий из точки А в точку В, и путь V, ведущий из В в точку С. Тогда, заставляя сначала точку пробежать путь AB, а затем ВС, мы получим путь АС, который естественно назвать произведением путей U = AB и V = BC и обозначить через UV. Если пути U, F соответственно эквивалентны путям U1, V1, то произведения их UV и U1V1 будут также эквивалентны. Умножение путей ассоциативно в том смысле, что если одно из произведений U (VW) или (UV)W определено, то другое также определено и оба представляют эквивалентные пути. Если подвижную точку M заставить пробегать какой-нибудь путь U = AB в противоположном направлении, то получится обратный путь U~X'=BA, ведущий из точки В в точку А. Произведение пути AB на обратный ему путь BA будет замкнутым путем, эквивалентным нулевому пути, состоящему лишь из одной точки А.
Согласно определению, перемножать можно не любые два пути, а лишь такие, у которых конечная точка первого пути совпадает с начальной точкой второго. Этот недостаток исчезает, если рассматривать лишь замкнутые пути, выходящие из одной и той же начальной точки А. Любые два такие пути можно перемножить, в результате чего снова получится замкнутый путь с начальной точкой А. Кроме того, для каждого замкнутого пути с начальной точкой А обратный путь обладает теми же свойствами.
Условимся теперь эквивалентные пути считать различными представителями одного и того же «пути», лишь проведенного различными способами на поверхности., а неэквивалентные пути будем считать представителями существенно различных «путей». Приведенные выше замечания показывают, что в таком случае совокупность всех замкнутых путей (кавычки мы опускаем), выходящих из какой-либо точки А поверхности, будет являться группой относительно операции умножения путей. Единичным (нейтральным) элементом этой группы будет нулевой путь, а обратным элементом для данного пути будет служить этот же путь, только проходимый в обратном направлении.
Группа путей, вообще говоря, зависит не только от вида поверх^ ности, но и от выбора начальной точки А. Однако если поверхность
19* 292
Глава XX. Группы, и другие алгебраические системы
не »распадается на отдельные куски, т. е. если любые ее две точки могут быть соединены непрерывным путем, лежащим на поверхности, то группы путей, отвечающих различным точкам, будут изоморфными, и в этом случае можно говорить просто о группе путей поверхности S, не указывая точки А. Эта группа путей поверхности и называется ее фундаментальной группой.
Если поверхность S есть плоскость или сфера, то группа путей состоит лишь из единичного элемента, так как на плоскости и на сфере любой путь стягивается в точку. Однако уже на поверхности бесконечного кругового цилиндра, как мы видели, есть замкнутые пути, не стягиваемые в одну точку. Поскольку всякий замкнутый путь на цилиндре, выходящий из точки А, эквивалентен некоторой степени пути X (рис. 23), причем различные степени X между собой не эквивалентны, группа путей цилиндрической поверхности является бесконечной циклической группой. Можно доказать, что группа путей тора (рис. 22) состоит из путей вида UmVn (т, п = 0, +1, ±2,...), причем UV = VU и UmVn=UntiV"1 только при m = mv п = пх (напоминаем, что при рассмотрении группы путей равенство путей понимается в смысле их эквивалентности).
Важность группы путей объясняется следующим ее свойством. Допустим, что, кроме поверхности S, дана другая поверхность Sv такая, что между точками поверхностей S я Si можно установить взаимно однозначное и непрерывное соответствие. Например, такое соответствие возможно, если поверхность Si получена из S посредством некоторой непрерывной деформации без разрывов и без склеиваний различных точек поверхности. Каждому пути на исходной поверхности S будет соответствовать путь на поверхности Sr При этом эквивалентным путям будут соответствовать эквивалентные, произведению двух путей — произведение, так что группа путей на поверхности .Sr1 будет изоморфна группе путей на поверхности S. Иначе говоря, группа путей, рассматриваемая с абстрактной точки зрения, т. е. с точностью до изоморфизма, является инвариантом при всевозможных взаимно однозначных и непрерывных преобразованиях поверхности. Если группы путей для двух поверхностей различны, то соответствующие поверхности не могут быть переведены непрерывно одна в другую. Так, например, плоскость не может быть без склеиваний и разрывов деформирована в цилиндрическую поверхность, потому что группа путей плоскости состоит из единичного элемента, а группа путей цилиндра бесконечна.
Свойства фигур, остающиеся неизменными при взаимно однозначных и взаимно непрерывных преобразованиях, изучаются в особой математической дисциплине топологии, основные идеи которой были освещены в главе XVIII. Инварианты непрерывных преобразований называются топологическими инвариантами. Группа путей является одним из замечательнейших примеров топологических инвариантов. Ясно, что § 8. Фундаментальные группы
