Математика ее содержание, методы и значение Том 3 - Александров А.Д.
Скачать (прямая ссылка):
Изучение группы Галуа представляет собой замечательный метод решения проблем, относящихся к алгебраическим уравнениям высших степеней. Например, можно доказать, что уравнение разрешимо в радикалах в том и только в том случае, если разрешима его группа Галуа (определение разрешимой группы см. § 3, стр. 268). Уже упоминалось, § в. Основные понятия общей теории групп
279
что симметрические группы 2, 3 и 4-й степени разрешимы. Это находится в полпом согласии с общеизвестным фактом разрешимости в радикалах уравнений 2, 3 и 4-й степени. Группы Галуа «общих» уравнений 5, 6-й и т. д. степеней суть симметрические группы тех же степеней. Но эти группы неразрешимы. Отсюда следует, что общие уравнения выше 4-й степени не могут быть разрешены в радикалах.
К числу уравнений, не разрешимых в радикалах, относятся и уравнения (9) при п > 4, поскольку их группа Галуа также симметрическая.
§ 6. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ОБЩЕЙ ТЕОРИИ ГРУПП
В XIX в. теория групп развивалась преимущественно как теория групп преобразований. Однакове течением времени становилось все более flCfbiM, что наиболее существенные из полученных результатов вависят Яйшь от того, что преобразования можно перемножать и что ато действие обладает рядом характерных свойств. G другой стороны, были найдены объекты, вовсе не являющиеся преобразованиями, но пад которыми можно производить некоторое действие (назовем его по-прежнему умножением), обладающее теми же свойствами, что и в группах преобразований, и к которым главные теоремы теории групп преобразований оказались также применимыми. В силу этого к концу прошлого столетия понятие группы стали применять не только к системам преобразований, но и к системам произвольных элементов.
Общее определение группы. В настоящее время общепринято следующее определение группы: пусть каждой паре рассматриваемых в определенном порядке элементов a, b произвольного множества G сопоставлен вполне определенный элемент с того же множества. Тогда говорят, что на множестве G задана операция или действие. Обычно для операций вводят особые названия: сложение, умножение, композиция. Элемент множества G, отвечающий паре а, Ь, называется в таком случае соответственно суммой, произведением, результатом композиции элементов a, b и обозначается соответственно a-f-b, ab, a*b. Название «сложение» или «умножение» употребляется и в тех случаях, когда рассматриваемая операция не имеет никакого отношения к обычным действиям сложения и умножения чисел.
Множество G вместе с определенной на нем операцией * называется группой относительно этой операции, если выполняются следующие групповые аксиомы:
1. Для любых трех элементов х, у, z из G
X*(y*z) = (x*y)*z (закон ассоциативности).
2. Среди элементов G существует элемент е, для которого при любом x из G
х*е = е#х = х.
3. Для каждого элемента а из G в G существует такой элемент а-1, что
а * а-1 = а-1 * а = е. 280
Глава XX. Группы, и другие алгебраические системы
Элемент е, указанный в аксиоме 2, называется нейтральным элементом группы, а элемент а-1, существование которого утверждает аксиома 3, называется обратным для а. Если групповая операция называется сложением или умножением, то нейтральный элемент называется соответственно нулевым или единичным, а групповые аксиомы принимают вид
1) * + (У + *) = (* + у) + »» x{yz) = (xy)z,
2) x 0 = 0 x = х, 2) хе = ех = х,
3) х-\-(—х) = (—х) 4-® = 0, 3) XX-1 = X-1X = е.
В [предшествующих параграфах рассмотрено много примеров групп. Элементами этих ірупп были преобразования, а групповым действием служило умножение преобразований. Совокупность чисел 0, ±1, ±2, ... относительно операции сложения является также группой, так как сумма целых чисел есть снова целое число, сложение целых чисел ассоциативно; нейтральным [элементом является целое число 0, и для каждого числа а среди рассматриваемых чисел есть противоположное число —а. Другим примером группы может служить совокупность всех действительных чисел (за исключением нуля) относительно умножения. В самом деле, произведение любых двух, отличных от нуля, действительных чисел есть действительное число, отличное от нуля; действие умножения действительных чисел ассоциативно; нейтральный элемент существует и равен 1; у каждого ненулевого действительного
1
числа а есть обратное число а-1 = — . Число аналогичных примеров можно неограниченно увеличить.
Хотя групповая операция может называться различно, мы условимся в дальнейшем почти всегда называть ее умножением. Понятия подгруппы, степеней элемента группы, циклической группы, порядка элемента группы определяются так же, как и для групп преобразований, и мы их повторять не будем (см. § 3). Отметим лишь, что элемент а группы G называется сопряженным с элементом Ь, если в G найдется такой элемент х, что Ъ —XT1Cix. Так как a = o~xaa, то каждый элемент группы сопряжен с самим собой. Далее, из Ь = х~гах, очевидно, следует хЪхг-г = а, или а = (х-~1)~~1Ьх-1, т. е. если элемент а сопряжен с Ь, то Ь сопряжен с а. Наконец, если Ь — х~1ах и с = у~Чу, то
