Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Александров А.Д. -> "Математика ее содержание, методы и значение Том 3" -> 117

Математика ее содержание, методы и значение Том 3 - Александров А.Д.

Александров А.Д. Математика ее содержание, методы и значение Том 3 — М.: Академия наук , 1956. — 336 c.
Скачать (прямая ссылка): matemateesoderjanieiznacheniet31956.djvu
Предыдущая << 1 .. 111 112 113 114 115 116 < 117 > 118 119 120 121 122 123 .. 145 >> Следующая


Можно показать, что совокупность движений пространства, совмещающих с собою данную правильную пространственную систему точек, является обязательно дискретной группой, причем все точки системы можно получить из любой фиксированной точки системы, сдвигая ее при помощи преобразований этой группы. Обратно, если известна некоторая дискретная группа Н, то, беря в пространстве произвольную § 4. Федоровские группы

275

точку А и сдвигая ее при помощи всевозможных движений, входящих в Н, мы получим систему точек, обладающую свойствами 1, 2. Путем несложных дополнительных требований можно из дискретных групп выделить те группы, которые для подходяще выбранных точек А дают настоящие правильные пространственные системы точек, т. е. системы точек со всеми тремя свойствами 1, 2, 3. Такие дискретные группы носят название федоровских или кристаллографических групп. Из сказанного видно, что нахождение федоровских групп есть первый и важнейший шаг в исследовании правильных пространственных систем точек. Оказалось, что для целей естествознания необходимо рассматривать не только группы, составленные лишь из собственных движений, но также группы, содержащие и собственные и несобственные движения (т. е. включающие отражение). Число федоровских групп, составленных только из собственных движений, значительно меньше числа федоровских групп, составленных из собственных и несобственных движений, и только в последнем, более общем случае многообразие получаемых правильных пространственных систем точек действительно исчерпывает все богатство встречающихся в природе строений кристаллических тел.

Интересно отметить, что лишь теория групп позволила разобраться в этом исключительном богатстве возможностей в отличив от упоминавшегося выше плоского случая.

Сложность пространственной задачи сравнительно с плоской видна из следующей таблицы:

Число пространственных федоровских групп Групп, содержащих только движения 1-го рода... 65 Групп, содержащих также движения 2-го рода... 165

Всего... 230

Подробный вывод и перечисление всех федоровских групп в пространстве еще и в настоящее время требуют нескольких десятков страниц текста. Поэтому мы ограничимся сообщением только этих количественных результатов, отсылая интересующихся читателей к специальной литературе1.

Современное развитие кристаллографии сделало необходимым дальнейшее развитие понятия симметрии. Новые возможности и пути этого намечены в книге кристаллографа акад. А. В. Шубникова «Симметрия и антисимметрия конечных фигур», Изд-во АН СССР, 1951.

1 Подробный вывод плоских дискретных групп движений 1-го рода изложен в книге Д. Гильберта и С. Э. Кон-Фоссена «Наглядная геометрия» (М.—JI., 1951),. Вывод пространственных кристаллографических групп можно найти в основном труде Е. С. Федорова «Симметрия правильных систем фигур» (Е. С. Федоров. Основные работы. Изд-во АН СССР, 1949), а также в книге Б. Делоне, Н. Паду-рова и А. Александрова «Математические основы структурного анализа кристаллов» (М.—JI., 1934) или С. А. Богомолова «Вывод правильных систем по методу Федорова» (изд-во Кубуч, 1934).

18* 276

Глава XX. Группы, и другие алгебраические системы

§ 5. группы галуа

Результаты, изложенные на предыдущих страницах, дают некоторое представление о роли, которую сыграла теория групп в решении задачи о классификации кристаллических форм. Однако не эта задача послужила причиной возникновения теории групп. Приблизительно на сто лет раньше Лагранщем была замечена связь между свойствами симметрии корней алгебраического уравнения и возможностью решения уравнения в радикалах. В трудах знаменитых математиков первой трети прошлого века Абеля и Галу а эта связь была глубоко исследована, что привело их к решению знаменитой проблемы об условиях разрешимости алгебраических уравнений в радикалах. Это решение целиком опиралось на тонкие рассмотрения свойств групп подстановок и явилось фактически Началом существования теории групп.

Изучение связей между свойствами алгебраических уравнений и свойствами групп составляет ныне предмет обширной теории, известной под именем теории Галуа.

Понятие об истории вопроса и о значении теории Галуа изложено в главе IV (том 1). Поскольку, однако, теория Галуа сыграла решающую роль в развитии теории групп,^ мы здесь снова приведем основные факты этой теории, но уже в виде, наиболее удобном для освещения самой теории групп. Доказательства этих фактов требуют многочисленных вспомогательных понятий и будут нами опущены.

Группа алгебраического уравнения. Пусть дано уравнение л-й степени

ж»-)- U1Xn-1 + ... + а, = 0, (6)

коэффициенты которого считаются данными величинами, например, некоторыми комйлексными числами. Совокупность величин, которые можно получить из-коэффициентов уравнения при помощи конечного числа действий сложения, вычитания, умножения и деления, называется основным полем или областью рациональности уравнения.

Например, если уравнение имеет рациональные коэффициенты, то область рациональности будет состоять из всех рациональных чисел; если же уравнение имеет вид х2 -f- \/2 х -(-1 = 0, то область рациональности состоит из всех чисел вида а -(- b \/2 , где a, b — рациональные числа.
Предыдущая << 1 .. 111 112 113 114 115 116 < 117 > 118 119 120 121 122 123 .. 145 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed