Математика ее содержание, методы и значение Том 2 - Александров А.Д.
Скачать (прямая ссылка):
Но квадрат модуля комплексного числа равен произведению этого числа на сопряженное с ним комплексное число, и, следовательно,
ITA2 = T-Ta, § 4. О методе Виноградова
247
где ввиду (36)
Ta = ^Pj е-^Р,
так как є~2к4лр = cos 2к<х.р — isin2Tnx.p. Поэтому неравенство (62) можно переписать в виде
i-f
I J21 < max I Ta I • j 2 е*ж"р 2 е~2ж<"Р'dy-
или в виде
1 P^N Р,
I--L
] I21 < max I Ta I • j 22 earfe^0das (63)
1 P1' Л'
т
Но интеграл, входящий в неравенство (63), в соответствии со сказанным в начале настоящего параграфа, представляет число U решений в простых числах р, рг, не превосходящих Nt уравнения р — JD1 = O, или попросту число простых чисел, не превосходящих N, т. е. П (N). Согласно результату (12) Чебышева
где В — постоянная. Таким образом,
\12\<в-ТШ-тах\Т^ (64)
где, повторяем, max ] Ta \ представляет наибольшее значение | Ta | на дополнительных отрезках. Ввиду (58) и (59) для доказательства теоремы Гольдбаха—Виноградова остается показать, что max | Ta | имеет порядок
Я X
меныпии, чем ^n ; однако установление этого факта представляет
наибольшую трудность и является центральным местом всего доказательства рассматриваемой теоремы.
Каждое а, принадлежащее одному из дополнительных интервалов,
а 1 '
представимо в виде a=—-|-z, где и —. Вопрос состоит,
таким образом, в оценке модуля тригонометрической суммы
Ta= 2е '
при указанных предположениях. Виноградов, в частности, установил, что
,. max Ta „
Iim-дг = 0; (65)
(In TV)3 248
Глава X. Простые числа
при этом он использовал одно указанное им весьма важное тождество, связанное с уже знакомой нам функцией р. (и).
К сожалению, здесь нет возможности дать доказательство равенства (65); читателям, желающим познакомиться с этим доказательством, следует обратиться к главе X книги И. М. Виноградова «Метод тригонометрических сумм в теории чисел».
Из (65) и (64), как уже отмечалось, вытекает, что
.V->00 '1 (/V)
Таким образом, ввиду (40), (58) и (59)
1W = 2TW{S {N) + т (7V))' (66)
где
Iimy(TV) = O,
и S(N) имеет значение (60), причем, ввиду (61), S(N)^>0,Q. Этими завершается доказательство теоремы.
§ 5. РАЗЛОЖЕНИЕ ЦЕЛЫХ ЧИСЕЛ НА СУММУ ДВУХ КВАДРАТОВ.
ЦЕЛЫЕ КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА
Важность изучения простых чисел определяется в значительной степени тем, что они, повидимому, играют центральную роль в большинстве теоретико-числовых закономерностей: зачастую вопросы, на первый взгляд далекие от теории делимости, оказываются при более тщательном рассмотрении тесно связанными с теорией простых чисел. Поясним это следующим примером.
Одной из задач теории чисел является задача о том, какие натуральные числа разлагаются на сумму двух квадратов целых чисел (не обязательно отличных от нуля).
Непосредственно в ряде чисел, являющихся суммами двух квадратов, закономерности не видно. Например, в ряде чисел от 1 до 50 суммами двух квадратов являются числа 1, 2, 4, 5, 8, 9, 10, 13, 16, 18, 20, 25, 26, 29, 32, 34, 36, 37, 40, 41, 45, 49, 50 — последовательность довольно причудливая.
Французский математик XVII в. Ферма заметил, что все дело в том, каким образом представляемое число разлагается на простые множители, т. е. вопрос относится собственно к теории простых чисел.
Простые числа, кроме р= 2, нечетные и поэтому при делении на 4 могут давать в остатке либо 1 (простые числа вида An+ 1), либо 3 (простые числа вида 4гс-|-3).
1. Простое число р есть сумма двух квадратов тогда и только тогда, когда р = Ап+\. § 5. Разложение целых чисел на сумму двух квадратов
249
Доказательство того, что числа вида 4л + 3 не могут являться суммами двух квадратов, почти очевидно; действительно, сумма квадратов двух четных чисел делится на 4, сумма квадратов двух нечетных чисел дает при делении на 4 в остатке 2, а сумма квадратов четного и нечетного чисел дает в остатке 1.
Сделаем несколько предварительных замечаний о простых числах, именно докажем, что если р просто, то (р —1)!+1 делится на р> Числа, не делящиеся на р, дают в остатках при делении на р числа 1, 2, 3, . . ., р — 1. Возьмем целое г, — 1, и будем умножать г
на 1, 2, . . ., р—1; в остатках от деления построенных таким образом произведений на р получаются, как нетрудно доказать, все те же числа, но, вообще говоря, в другом порядке. В частности, среди остатков будет 1, т. е. для каждого г найдется такое л,, что T-T1 = I-^kp. Заметим, что r = rv только если т = 1 или г = р — 1. Действительно, если Tl2=I-J-Ap, то (r+l)(r—1) делится на р; для чисел r^.p — 1 это возможно лишь при т = 1 и г = р — 1. Найдем остаток от деления (р—1)1 = 1-2 - • • (р—1) при делении на р. В этом произведении для каждого сомножителя г, кроме 1 и р—1, найдется свое отличное от него T1, такое, что T-T1 имеет остаток 1. Поэтому (р—1)! будет иметь тот же остаток от деления на р, как если бы в нем было всего два сомножителя 1 и р — 1, т. е. имеет остаток р — 1. Таким образом, (р—1)! + 1 делится на р.
Пусть теперь р = 4л+1. Далее напишем
