Математика ее содержание, методы и значение Том 2 - Александров А.Д.
Скачать (прямая ссылка):
то естественно предполагать, что событие В не должно появляться при
условии наступления события А ни существенно чаще, ни существенно
реже, чем при рассмотрении всех вообще испытаний, т. е. что при-
к I
€лиженно--— или
т п
к _ km Im
п т п п п
В последнем приближенном равенстве ^- = vA есть частота события А, а — = v„—частота события В, наконец, — = v.„ — частота совмещения
Tl в Tl ЛВ
событий А и В.
Мы видим, что эти частоты связаны соотношением
vJ8-Vs.
Для вероятностей событий А, В и AB естественно поэтому принять соответствующее точное равенство
P (4Я) = P (4). P'(Я). (4)
Равенство (4) служит определением независимости двух событий А ж В.
і Аналогично совмещение С любого числа событий A1, Аъ ..., А, состоит в наступлении всех указанных событий. § '2. Аксиомы и основные формулы
257-
Аналогично можно определить независимость любого числа событий. Кроме того, можно дать определение независимости любого числа испытаний (последнее, грубо говоря, сводится к тому, что тот или иной исход части этих испытаний никак не влияет на исход остальных1).
Вычислим теперь вероятность Pk ровно к появлений некоторого события А в п независимых испытаниях, в каждом из которых вероятность р появления этого события одна и та же. Обозначим через .4 событие, заключающееся в непоявлении события А. Очевидно, что
P(7) = l — P(^) = I- р.
Из определения независимости испытаний нетрудно усмотреть, что вероятность какой-либо определенной последовательности, составленной из к появлений Ann — к непоявлений A7 равна
рк{1—р)"~к. (5)
Так, например, при га = 5 и к = 2 вероятность получить последовательность исходов AAAAA будет р(1— р)р(\—/>)(1—Р) = Р2{ 1—р)3-
По теореме сложения вероятность Pk равна сумме вероятностей всех последовательностей с к появлениями ига — к непоявлениями события А, т. е. в силу (5) равна произведению числа таких последовательностей на рк (1—р)и~к¦ Число таких последовательностей, очевидно, равно числу сочетаний из га по к, поскольку к положительных исходов могут занимать в ряду из п испытаний любые к мест.
Окончательно получаем
Pk = CflPk(1-р)»-к (A = 0, 1, 2, ..., га) (6)
(так называемое биномиальное распределение).
Чтобы увидеть, как применяются приведенные выше определения и формулы, рассмотрим пример, относящийся к теории стрельбы.
Пусть для поражения цели достаточно пяти попаданий. Нас интересует вопрос, имеем ли мы право рассчитывать на то, что необходимые пять попаданий получатся в результате 40 выстрелов. Чисто эмпирический метод решения этой задачи заключался бы в следующем. При заданных размерах цели и заданной дистанции стрельбы производится много (скажем, 200) стрельб по 40 выстрелов в каждой и определяется, в каком числе стрельб получилось не менее пяти попаданий в цель.
1 Точнее независимость испытаний означает следующее. Разобьем п испытаний каким-либо образом на две группы; пусть событие А заключается в том, что все испытания первой группы заканчиваются какими-либо наперед заданными исходами, а событие В — в том, что все испытания второй группы заканчиваются какими-либо исходами, также наперед заданными. Испытания называются независимыми (в совокупности), если при любом разбиении и любом задании исходов определенные выше события А и В независимы в смысле (4).
К обсуждению реального смысла понятия независимости мы еще вернемся в § 4.
17 Математика, т. 2 '258
Глава XI. Теория вероятностей
Если этот результат был достигнут, например, в 195 стрельбах из 200, то вероятность P равна приблизительно
/> = Jjg = 0,975.
По рассмотренному чисто эмпирическому рецепту исследования мы потратили бы 8000 снарядов для решения крайне специальной задачи. Так на практике, конечно, не поступают. Вместо этого начинают с Hfr следования рассеивания снарядов при данной дистанции стрельбы независимо от размеров цели. Оказывается, что отклонения по дальности и боковые отклонения от средней точки падения подчиняются в смысле частоты, с.которой встречаются отклонения различных размеров, закону, изображенному на рис. 2. Буквой В здесь обозначено так называемое
2% 7% -!6% 2S% 25% 16% 7% 2%
—і-1-1-—і-1-1-1-1-1—
-4В -ЗВ - 2В -В О В 2В JB IB
Рис. 2.
вероятное отклонение. Вероятное отклонение, вообще говоря, различно для отклонений по дальности и боковых отклонений и, кроме того, увеличивается с увеличением дистанции стрельбы. Вероятные отклонения для различных дистанций для каждого типа орудия и снаряда находятся эмпирически при помощи опытных стрельб на артиллерийском полигоне. После же этого решение всевозможных специальных задач такого типа, как поставленная выше, производится расчетным путем.
Предположим для простоты, что интересующая нас цель имеет вид прямоугольника, одна сторона которого направлена вдоль линии стрельбы и имеет размеры в два вероятных отклонения по дальности, а другая сторона, перпендикулярная линии стрельбы, равна двум вероятным боковым отклонениям. Предположим, далее, что цель хорошо пристреляна и средняя траектория полета снарядов проходит через ее центр (рис. 3).
