Математика ее содержание, методы и значение Том 2 - Александров А.Д.
Скачать (прямая ссылка):
(р- 1)! + 1 = (1-2... ?=1]. {(p-u^i)... Q0 _2) (/>-1)1 + 1.
Выражение, стоящее во второй фигурной скобке, будет иметь при де-лении на р - остаток (—1) 2 —)!> но ^—— четное число. Поэтому ^p ? 1 ) !+Ib рассматриваемом случае тоже делится на р. Обозначим через А остаток от деления 2 J ^ ! на р. Очевидно, что и A2 + 1 делится на р.
Рассмотрим выражение х — А у, в котором х и у независимо пробегают числа 0, 1, .-.., (Vjо] ([ж]—наибольшее целое число, не превосходящее х). Тогда получится ([\//>]+1)2^/7+1 числовых значений X — Ay (различных или совпадающих иногда). Так как различных остатков от деления на р может быть лишь р (0, 1, 2, . . ., р—1), а числовых значений имеется jo + l, то найдутся две различные пары (^1, ^1) и (х2, у2), такие, что X1 — Ay1 и X2 — Ay2 будут иметь одинаковый остаток от деления на р, т. е. (X1—х2) — А (уг — у2) делится на р. Положим:
X0 = X1-X2, у0 = у1 — у2. Очевидно, Iz0Kv^1 ІУоК^Р- Раз Л2+1 делится на р, то у2 (А* + 1) = (Аг/0)2 + у\ будет делиться на р\ но так как 250
Глава X. Простые числа
х0 — Ay0 делится на р, то будет делиться на р число х2— (Ay0)2 = = Oz0- Ay0) (X0Ar Ay0). Поэтому величина ж2 + ?/2, равная (X20-(Ay0)2 + + (.4г/0)2 + ^), делится на р. Но |ж0| < \/р, | г/0 J < s/p. Отсюда заключаем, что х2-\-у2 либо 0, либо X2 +г/2 = р. Первое невозможно, так как пары (X1Jy1), (х2, у2) различны. Итак, простое число вида 4л+1 представляется в виде суммы двух квадратов.
2. Обратимся к разложению произвольных целых чисел на сумму двух квадратов. Легко проверяется тождество
(a2 + b2) (с2 + d2) = (ас — bd)2 + (ad + be)2.
Это тождество показывает, что произведение двух целых чисел, являющихся суммами квадратов, есть снова сумма квадратов. Отсюда следует, что произведение любых степеней простых чисел вида 4л+1 и 2 есть сумма двух квадратов. Так как, умножая сумму двух квадратов на квадрат, получаем сумму двух квадратов, то любое число, в котором простые множители вида 4« + 3 входят в четных степенях, является суммой двух квадратов.
3. Покажем, что если простое число вида An + 3 войдет в число в нечетной степени, то число не может быть разложено на сумму двух квадратов. Этим самым поставленный вопрос будет полностью исчерпан.
Будем рассматривать комплексные числа вида a-\-bi, где а и b — обыкновенные целые числа. Такие комплексные числа будем называть целыми комплексными числами. Если целое число N есть сумма двух квадратов N = a2-\-b2, то N = (a-{-bi)(a — 6i) = a-a (через а. обозначаем комплексно сопряженное к ос число), т. е. N разлагается в области целых комплексных чисел на комплексно сопряженные множители.
В области целых комплексных чисел можно построить теорию делимости, совершенно аналогичную теории делимости в области обычных целых чисел. Мы будем говорить, что целое комплексное число ос делится
о a
на целое комплексное число р, если есть снова целое комплексное
число. Существует лишь четыре целых комплексных числа а, которые делят 1 — это 1, —1, і, ¦—г. Мы будем говорить, что целое комплексное число ос есть простое число, если оно не имеет других делителей, кроме 1, —1, і, —i, ol, —а, аг, —а г. Теперь получила новый смысл задача, решенная в пункте 1: там выясняется, что простые числа вида AnjsrI и число. 2 перестают быть простыми в области целых комплексных чисел. Легко установить, что простые числа вида An + 3 остаются простыми. Действительно, если бы р = сф, то р = a ?, /?2 = ??^. Но оса и ?fi— обыкновенные пелые положительные числа; p^aa, ибо простые числа вида 4га+3 не являются суммами квадратов. Значит, aa = l, т. е. а может быть либо +1, либо +г, т. е. р не имеет дели- § 5. Разложение целых чисел на сумму двух квадратов
251
Для целых комплексных чисел справедлива теорема об однозначном разложении на простые множители. Однозначность получается, конечно, если отвлечься от порядка сомножителей и от их комбинации о числами 1, —1, і, —і.
Пусть TV есть сумма квадратов, Лг = аос. Пусть р — простое число вида 4n-j-3. Подсчитаем, в какой степени р входит в число N. В силу того, что р остается простым и в области целых комплексных чисел, достаточно подсчитать, в какой степени р входит в % и в я. Но эти степени равны и поэтому р входит в N обязательно в четной степени, что и требовалось доказать.
Открытие того, что содержательная теория делимости возможна не только в области целых рациональных чисел (как мы видели, она имеет место в области целых комплексных чисел), сильно расширило кругозор математиков XIX в. Разработка этой идеи потребовала создания новых общих понятий в математике, как, например, ионятия кольца, идеала. Значимость этих понятий в настоящее время далеко переросла рамки теории чисел.
ЛИТЕРАТУРА
Популярная литература
Постников А. Г. и Романов Н. П. Упрощение элементарного доказательства А. Сельберга асимптотического закона распределения простых чисел. «Успехи матем. наук», 10, № 4, 1955.
Статья содержит популярное изложение доказательства асимптотического закона и может служить дополнением к брошюре Шнирельмана. Шнирельман JI. Г. Простые числа. Гостехиздат, 1940.
