Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Александров А.Д. -> "Математика ее содержание, методы и значение Том 2" -> 104

Математика ее содержание, методы и значение Том 2 - Александров А.Д.

Александров А.Д. Математика ее содержание, методы и значение Том 2 — Москва, 1956. — 397 c.
Скачать (прямая ссылка): matemateesoderjaniemetodiiznachenie1956.djvu
Предыдущая << 1 .. 98 99 100 101 102 103 < 104 > 105 106 107 108 109 110 .. 157 >> Следующая


Р{*1(Ус<<;_МС0<О2*с}~ J=Je 2dt. (28)

Чебышев дал почти полное доказательство этой формулы для случая независимых и ограниченных слагаемых. Марков восполнил недостающее звено в рассуждениях Чебышева и расширил условия применимости формулы (28). Еще более общие условия были даны Ляпуновым. Вопрос о распространении формулы (28) на суммы зависимых слагаемых с особенной полнотой был изучен С. Н. Бернштейном.

Формула (28) охватила столь большое число частных задач, что долгое время ее называли центральной предельной теоремой теории вероятностей. Хотя при новейшем развитии теории вероятностей она оказалась включенной в ряд более общих закономерностей, ее значение трудно переоценить и в настоящее время.

Если слагаемые независимы и их дисперсии одинаковы и равны:

D?ft) = **,

то формуле (28) удобно, учитывая соотношение (25), придать вид

(29)

Покажем, что соотношение (29) содержит в себе решение задачи об от-

клонениях частоты — от вероятности р, которой мы занимались ранее-

Для этого введем случайные величины с<г>, определяя их следующим условием:

0, если г-е испытание имело отрицательный исход,

1, если г-е испытание имело положительный исход. '270

Глава XI. Теория вероятностей

Легко проверить, что тогда

M(^) = P, D (?<»)) = p(l-p), M (Х) = р, и формула (29) дает

р {+^^-ро+ЩЩ-^, /e-fe.

что при J1 = — t, t2 = t снова приводит к'формуле (20).

§ 4. ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ ЗАМЕЧАНИЯ ОБ ОСНОВНЫХ ПОНЯТИЯХ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

Говоря о случайных явлениях, которым гсвойственна устойчивость частот, т. е. тенденция при большом числе повторений известных условий происходить с частотами, группирующимися вокруг некоторого нормального уровня — вероятности P (А/S), мы допустили в § 1 некоторую неточность и расплывчатость формулировок в двух отношениях. Первая из допущенных неточностей заключается в том, что мы не указали, насколько велики должны быть по своей численности серии испытаний пг для того, чтобы устойчивость частот уже обязана была проявиться, и каковы именно допустимые отклонения частот — друг от друга и от

пг

нормального их уровня р при 'тех или иных численностях отдельных серий пъ

п2.....ns. Эта неточность на первом этапе формирования понятий новой науки

неизбежна. Она нисколько пе больше, чем известная расплывчатость, свойственная простейшим геометрическим понятиям точки или прямой в их физическом понимании. Эта сторона дела была затем уточнена в § 3.

Существеннее другая скрытая в наших формулировках неясность, относящаяся к способу формирования тех серий, в которых должна наблюдаться устойчивость частот появления события А.

Мы уже видели, что к статистическим и вероятностным методам исследования обращаются тогда, когда точное индивидуальное предсказание хода событий оказывается неосуществимым. Желая же искусственно создать по возможности чисто случайные явления, специально заботятся о том, чтобы никакими доступными средствами нельзя было заранее выделить те случаи, в которых явление А будет иметь тенденцию появляться чаще, чем [с некоторой нормальной для него частотой.

Так организуются, например, тиражи государственных займов. Если в данном тираже из общего числа N облигаций на M из них выпадает выигрыш, то ве-

M

роятность выигрыша для отдельной облигации равна = . Это значит, что

каким бы образом мы ни выделили заранее до тиража совокупность облигаций достаточно большой численности л, мы можем быть практически уверены, что

отношение — числа [j. выигравших облигаций в выделенной совокупности к общей л

численности п этой совокупности окажется близким к р. Например, лица, предпочитающие приобретать четные номера облигаций, не получат никакого систематического преимущества перед теми, которые предпочитают приобретать нечетные номера; точно так же не получат никакого преимущества лица, которые исхо- § 4. Дополнительные замечания об основных понятиях

271

дили бы из убеждения, что лучше всего приобретать облигации с номерами, разлагающимися ровно на три простых множителя, или облигации, номера которых являются соседними с теми, на которые упали выигрыши в предшествующем тираже, и т. п.

Точно так же при стрельбе из исправного орудия данного образца, с хорошо обученным обслуживающим персоналом и при нормальном способе получения снарядов, прошедших обычный для выпускаемой продукции контроль, мы будем получать отклонения от средней точки падения меньше определенного заранее вероятного отклонения В приблизительно в половине случаев. Эта пропорция сохранится в ряде последовательных стрельб, сохранится она и в том случае, если мы отдельно подсчитаем число отклонений, меньших В, для четных или нечетных (по порядку их во времени) выстрелов и т. п. Но вполне возможно, что, произведя отбор особенно однородных (в отношении их веса и т. п.) снарядов, мы могли бы рассеивание несколько уменьшить, т. е. получить серию снарядов, для которой доля отклонений, больших стандартного В, окажется существенно меньше половины.

Итак, говорить о том, что событие А ' является «вероятностно-случайным» и приписывать ему определенную вероятность
Предыдущая << 1 .. 98 99 100 101 102 103 < 104 > 105 106 107 108 109 110 .. 157 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed