Математика ее содержание, методы и значение Том 2 - Александров А.Д.
Скачать (прямая ссылка):
>0 мы все время будем получать одни шестерки, т. е. с вероятностью ^ ^ получим частоту появления шестерок, равную единице,
а с вероятностью — ^j' > 0 шестерка не выпадает ни одного раза,
т. е. частота появления шестерок окажется равной нулю.
Во всех подобных задачах любая нетривиальная оценка близости между частотой и вероятностью действует не с полной достоверностью, а лишь с некоторой меньшей единицы вероятностью. Можно, например, доказать, что в случае независимых испытаний1 с постоянной вероятностью р появления события неравенство
и г
<0,02 (7)
для частоты будет выполняться при « = 10 000 (и любом р) с вероятностью
P >0,9999. (8)
Здесь мы прежде всего хотим подчеркнуть, что в приведенной формулировке количественная оценка близости частоты ^ к вероятности р
связана с введением новой вероятности Р.
Реальный смысл оценки (8) таков: если произвести N серий по п испытаний и сосчитать число M серий, в которых выполняется неравенство (7), то при достаточно большом N приближенно будет
~ » P >0,9999. (9)
Но если мы захотим уточнить соотношение (9) как в отношении степени близости ^r к Р, так и в отношении надежности, с которой"
1 См. сноску на стр. 257. Доказательство оценки (8) пояснено На бтр.' 265. '262
Глава XI. Теория вероятностей
можно утверждать, что такая близость будет иметь место, то придется обратиться к рассмотрениям, аналогичным тем, которые мы уже про-
можно повторять неограниченное число раз, но вполне понятно, что это не позволит нам совсем освободиться от необходимости на последнем этапе обратиться к вероятностям в примитивном грубом понимании этого термина.
Не следует думать, что подобного рода затруднения являются какой-то особенностью теории вероятностей. При математическом изучении реальных явлений мы всегда их схематизируем. Отклонения хода действительных явлений от теоретической схемы МОЖНО, В СВОЮ очередь, подвергнуть математическому изучению. Но для зтого сами эти отклонения надо уложить в некоторую схему и этой последней пользоваться уже без формального математического анализа отклонений от нее.
Заметим, впрочем, что при реальном применении оценки1
к единичной серии из п испытаний мы опираемся и на некоторые соображения симметрии: неравенство (10) указывает, что при очень большом числе N серий соотношение (7) будет выполняться не менее чем в 99,99°/о случаев; естественно с большой уверенностью ожидать, что, в частности, неравенство (7) осуществится в интересующей нас определенной серии из п испытаний, если мы имеем основания считать, что эта серия в ряду других серий занимает рядовое, ничем особенным не отмеченное положение.
Вероятности, которыми принято пренебрегать в различных практических положениях, различны. Выше уже отмечалось, что при ориентировочных расчетах расхода снарядов, гарантирующего выполнение поставленной задачи, удовлетворяются нормой расхода снарядов, при которой поставленная задача решается с вероятностью 0,95, т. е. пренебрегают вероятностями, не превышающими 0,05. Это объясняется тем, что переход на расчеты, исходящие из пренебрежения, скажем, лишь вероятностями, меньшими 0,01, приводил бы к большому увеличению норм расхода снарядов, т. е. практически во многих случаях к выводу о невозможности выполнить поставленную задачу за тот короткий промежуток времени, который для этого имеется, или с фактически могущим быть использованным запасом снарядов.
Иногда и в научных исследованиях ограничиваются статистическими приемами, рассчитанными исходя из пренебрежения вероятностями в 0,05. Но зто следует делать лишь в случаях, когда собирание более
вели в применении к близости — и р. При желании такое рассуждение
(10)
1 Т$к записывают оценку (8) для вероятности неравенства (7).- jj 'і. Закон больших чисел и предельные теоремы
26)
обширного материала очень затруднительно. Рассмотрим в виде примера таких приемов следующую задачу. Допустим, что в определенных условиях употребительный препарат для лечения какого-либо заболевания дает положительный результат в 50°/о, т. е. с вероятностью 0,5. Предлагается новый препарат и для проверки его преимуществ над старым планируется применить его в десяти случаях, выбранных беспристрастно из числа больных, находящихся в том же положении, что и те, для которых установлена эффективность старого препарата в 50°/0. При этом устанавливается, что преимущество нового препарата будет считаться доказанным, если он даст положительный результат не менее чем в восьми случаях из десяти. Легко подсчитать, что такое решение связано с пренебрежением вероятностью получить ошибочный вывод (т. е. вывод о доказанности преимущества нового препарата, в то время как он равноценен или даже хуже старого) как раз порядка 0,05. В самом деле, если в каждом из десяти испытаний вероятность положительного исхода равна р, то вероятности получить при десяти испытаниях 10, 9 или 8 положительных исходов, равны соответственно
P1O = P10I P9 = IOP9(I-P), P8 = 45/?8 (1 — р)2.
d 1
В сумме для случая р = у получаем
