Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Александров А.Д. -> "Математика ее содержание, методы и значение Том 2" -> 106

Математика ее содержание, методы и значение Том 2 - Александров А.Д.

Александров А.Д. Математика ее содержание, методы и значение Том 2 — Москва, 1956. — 397 c.
Скачать (прямая ссылка): matemateesoderjaniemetodiiznachenie1956.djvu
Предыдущая << 1 .. 100 101 102 103 104 105 < 106 > 107 108 109 110 111 112 .. 157 >> Следующая


273

ванно с его вращением) и т. п.; число таких примеров может быть неограниченно продолжено.

Можно даже сказать, что всюду, где достаточно ясно проявляются вероятностные закономерности, мы имеем дело с влиянием большого числа если не совсем независимых между собой, то в том или ином смысле слабо связанных друг с другом факторов.

Это совсем не означает, что следует всюду некритически вводить допущения о тех или иных независимостях. Наоборот, это заставляет, во-первых, особенно тщательно разрабатывать критерии для проверки гипотез о независимости, а во-вторых, особенно тщательно исследовать пограничные случаи, когда зависимости между факторами уже необходимо учитывать, но эти зависимости таковы, что вероятностные закономерности в изменепном и осложненном виде еще могут проявиться. Выше отмечалось, что уже классическая русская школа теории вероятностей широко развернула исследования во втором из этих направлений.

Заканчивая рассмотрение вопроса о независимости, отметим, что как определение независимости двух событий формулой (4), так и формальное определение независимости нескольких случайных величин значительно шире понятия реальной независимости в смысле принадлежности к причинно не связанным кругам явлений.

Предположим, например, что точка 5 падает на отрезок [0,1] так, что при

вероятность ее попадания на отрезок [а, Ъ] равна длине этого отрезка Ь — а. Легко доказать, что тогда в разложении

10 100 1000 1

абсциссы точки ? в десятичную дробь знаки оц. будут взаимно независимы, хотя они и связаны по своему происхождению1. (Из этого обстоятельства вытекает много теоретически, а частью и практически интересных следствий.)

Такая гибкость формального определения независимости не должна рассматриваться как его недостаток. Наоборот, она лишь расширяет область применимости теорем, установленных при тех или иных допущениях о независимости. Эти теоремы применимы одинаково и в случаях, где независимость постулируется в силу реальных соображений, и в случаях, где независимость доказывается расчетом, исходя из ранее принятых допущений о распределениях вероятностей исследуемых событий и случайных величин.

Вообще исследование формальной структуры математического аппарата теории вероятностей привело к интересным результатам. Оказалось, что этот аппарат занимает вполне определенное и очень простое место в намечающейся постепенно классификации основных объектов изучения современной математики.

Мы уже говорили о понятии совмещения AB двух событий и о понятии соединения A [JB событий А и В. Напомним, что события называются несовместимыми, если их совмещение невозможно, т. е. если AB = N1 где JV— знак невозможного события.

Основной аксиомой элементарной теории вероятностей является требование (см. § 2), чтобы при условии AB = N соблюдалось равенство

P (Л U Я) = P (/1) +P (Я).

1 То же имеет место при любом п для знаков aA разложения числа S в дробь

? = U + JU2 -4- ^L 4-

п 1 л2 ^ П3 ^ ' ' '

18 Математика, т. 2 '274

Глава XI. Теория вероятностей

Свойства основных понятий теории вероятностей — случайных событий и их вероятностей — вполне аналогичны, например, свойствам плоских фигур и их площадей. Достаточно понимать под AB пересечение (общую часть) двух фигур, под A\J В — их соединение, под N — условно вводимую «пустую» фигуру, а под P (А) — площадь фигуры А и аналогия в намеченных пределах будет полной.

Такими же свойствами обладают объемы трехмерных фигур.

Наиболее общей теорией образований подобного типа, охватывающей как частные случаи теории объемов и площадей, является сейчас общая теория меры., некоторые сведения о которой можно найти в главе XV (том 3), посвященной теории функций действительного переменного.

Следует только отметить, что в теории вероятностей имеются по сравнению с общей теорией меры или специально с теорией площадей и объемов некоторые специфические черты: вероятность никогда не бывает больше единицы. Эту максимальную вероятность имеет необходимое событие U

P (?7) = 1.

Аналогия не является поверхностной. Оказалось, Что вся математическаы теория вероятностей с формальной стороны может быть построена как теория меры, специализированная допущением, что мера «всего пространства» ?7 равна единице

Такой подход к делу не только внес полную ясность в формальное строение математической теории вероятностей, но и способствовал вполне конкретному ¦рогрессу как самой теории вероятностей, так и смежных с ней по формальному строению математических теорий. В теории вероятностей с успехом были использованы тонкие методы, разработанные в метрической теории функций действительного переменного. Одновременно вероятностные методы оказались применимыми в вопросах смежных областей математики не «по аналогии», а путем формально строгого их перенесения в новые области. Всюду, где оказываются выполненными аксиомы теории вероятностей, применимы и следствия из этих аксиом, хотя бы данная область не имела ничего общего с реальной случайностью.

Наличие аксиоматизированной теории вероятностей избавляет нас от соблазна «определять» вероятность способами, претендующими иа соединение их непосредственной естественно-научной убедительности с приспособленностью к построению на их основе формально строгой математической теории. Такие определения приблизительно соответствовали бы в геометрии «определению» точки как того, что получится, если бесконечное число раз обрезать со всех сторон физическое тело, уменьшая каждый раз, скажем, вдвое его диаметр.
Предыдущая << 1 .. 100 101 102 103 104 105 < 106 > 107 108 109 110 111 112 .. 157 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed